Matrix, Untergruppe, Lösung einer Gleichung

15.06.2013, 10:32	Lyla93	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix, Untergruppe, Lösung einer Gleichung Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} P_{d} := \end{eqnarray}$ { $\begin{eqnarray} M = \begin{pmatrix} x & dy \\ y & x \end{pmatrix} \in Q^{2x2}: detM=1 \end{eqnarray}$ }, wobei d $\begin{eqnarray} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . a) Zeige, dass $\begin{eqnarray} P_{d} \end{eqnarray}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} GL_{2} \end{eqnarray}$ (Q) ist. b) Beweise: Wenn die Gleichung X²-dY² mit festem d eine Lösung in natürlichen Zahlen bestitzt, dann existieren bereits unendlich viele Lösungen in den natürlichen Zahlen. c) Geben sie drei Lösungen x,y $\begin{eqnarray} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ von X²-dY² = 1 an. d) Zeige, dass im Fall einer Quadratzahl d=m² $\begin{eqnarray} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ die Gleichung X²-dY²=1 keine Lösung in den natürlichen Zahlen besitzt. Meine Ideen: Zur a): Ich dachte mir, ich muss nur zwei Dinge zeigen. Erstens: $\begin{eqnarray} P_{d} \neq \end{eqnarray}$ {} und zweitens: Wenn $\begin{eqnarray} A, B \in P_{d} \Rightarrow AB^{-1} \in P_{d} \end{eqnarray}$ . Passt das? Zum ersten: ich weiß nicht genau, wie ich das zeigen soll... Dachte zuerst ich kann das über die Determinante zeigen, aber dazu fällt mir nichts ein. Kann ich annehmen, dass x,y = 0 und dadurch zeigen, dass die Nullmatrix enthalten ist, damit die Menge nicht null ist? Zum zweiten: Eigentlich hätte ich hier nun ganz normal Matrizenmultiplikation gemacht, aber dafür benötige ich ja das Inverse zu B. Muss ich das zunächst berechnen? Oder geht das irgendwie einfacher? b) Absolut keine Ahnung, hier bräuchte ich bitte einen Tipp wie ich anfangen soll. c) Kann ich einfach Werte für X annehmen, und dann das passende Y ausrechnen? d) Ebenfalls noch keine Idee, aber vielleicht fällt mir was ein, wenn ich die b) und c) habe, weil mir bisher noch die Idee fehlt, wie ich an diese Gleichung rangehe.
15.06.2013, 14:42	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Das hier ist ein multiplikative Gruppe. Das neutrale Element ist die Einheitsmatrix nicht die Nullmatrix. Von daher zeige, dass die Einheitsmatrix in der Menge liegt. Und ja du musst hier invertieren. Bei 2x2 Matrizen ist das aber nicht so schwierig. b) nutze die a) aus (Denke an Potenzen der Matrix) Mach die klar was die a) mit diesen Gleichungen zu tun hat. e) 3.binomische Formel.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »