Differentialoperatoren

15.06.2013, 14:42

Keen89

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Differentialoperatoren

Ich soll div $\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c} x^2-y^2 \\ x^2+z^2 \\ 2*x*y*z \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ und rot $\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c} x^2-y^2 \\ x^2+z^2 \\ 2*x*y*z \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ berechnen.

Habe für die Divergenz $\begin{eqnarray*} 2*x*(1+y) \end{eqnarray*}$ und für die Rotation $\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c} 2*z*(x-1) \\ -2 \\ 2*(x+y) \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Passt das?

15.06.2013, 14:57

Che Netzer

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RE: Differentialoperatoren
Die zweite Komponente der Rotation wäre bei mir anders.

15.06.2013, 16:16

Keen89

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Ok... ich habe was vergessen, so müsste es passen?

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c} 2*z*(x-1) \\ -2*y*z \\ 2*(x+y) \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

15.06.2013, 16:24

Che Netzer

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Ja, so passt es.

15.06.2013, 16:37

Keen89

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Ok, danke!

Das war die a). Die b) bekomme ich leider nicht mehr alleine hin. Da ist gefragt:

$\begin{eqnarray*} F(x,y,z)=\left(\begin{array}{c} x^2-y^2 \\ x^2+z^2 \\ 2*x*y*z \end{array}\right) \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie, dass für beliebige differenzierbare skalare Funktionen U(x,y,z) und Vektorfelder F(x,y,z) gilt: div(U F) = U div(F) + grad(U) * F

15.06.2013, 16:40

Che Netzer

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Dann schreib mal $\begin{eqnarray*} UF \end{eqnarray*}$ explizit aus (in Komponenten), schreib die Divergenz davon auf und benutze die Produktregel.

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15.06.2013, 19:01

Keen89

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Ist $\begin{eqnarray*} UF \end{eqnarray*}$ dann einfach $\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c} U(x)*(x^2-y^2) \\ U(y)*(x^2+z^2) \\ U(z)*2*x*y*z \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ ?

Dann wäre die Divergenz davon:
$\begin{eqnarray*} U'(x)*(x^2-y^2) + U(x)*2*x+U'(y)*(x^2-y^2)+U'(z)*2*x*y*z+U(z)*2*x*y \end{eqnarray*}$

Irgendwie habe ich das Gefühl, dass ich $\begin{eqnarray*} UF \end{eqnarray*}$ schon falsch habe verwirrt

verwirrt

15.06.2013, 19:06

Che Netzer

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Zitat:

Zeigen Sie, dass für beliebige differenzierbare skalare Funktionen U(x,y,z) und Vektorfelder F(x,y,z) gilt: div(U F) = U div(F) + grad(U) * F

Außerdem ist $\begin{eqnarray*} U=U(x,y,z) \end{eqnarray*}$ .

15.06.2013, 19:14

Keen89

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Steht dann "eine beliebige differenzierbare Funktion" dafür, dass ich mir eine aussuchen darf? Ich hätte gedacht damit ist gemeint: "für alle differenzierbare Funktion".

15.06.2013, 19:28

Che Netzer

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Du darfst dir natürlich keine aussuchen, sondern sollst die Aussage für allgemeine Funktionen beweisen.
Ist dir noch nie das Wort "beliebig" in einer Aufgabe untergekommen?

15.06.2013, 19:36

Keen89

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Zitat:

Original von Che Netzer
Ist dir noch nie das Wort "beliebig" in einer Aufgabe untergekommen?

Doch, deswegen habe ich auch gemeint:

Zitat:

Original von Keen89
Ich hätte gedacht damit ist gemeint: "für alle differenzierbare Funktion".

Dann erstmal noch eine Verständnisfrage:
Stimmt das:
$\begin{eqnarray*} U(x,y,z)=\left(\begin{array}{c} U(x) \\ U(y) \\ U(z)\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

15.06.2013, 19:43

Che Netzer

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Nein, $\begin{eqnarray*} U(x,y,z) \end{eqnarray*}$ soll skalar sein.

15.06.2013, 19:44

Keen89

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Ist $\begin{eqnarray*} UF \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c} U(x,y,z)*(x^2-y^2) \\ U(x,y,z)*(x^2+z^2) \\ U(x,y,z)*2*x*y*z \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ ?

15.06.2013, 20:06

Che Netzer

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Nein, auch $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist beliebig.

15.06.2013, 20:27

Keen89

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Ok. Dachte ich muss das F von a) nehmen.

Wie schreibe ich ein allgmeines Vektorfeld?

15.06.2013, 20:29

Che Netzer

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Z.B. als $\begin{eqnarray*} F=\begin{pmatrix}F_1\\F_2\\F_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

15.06.2013, 20:39

Keen89

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Dann habe ich für $\begin{eqnarray*} UF \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c} U(x,y,z)*F1 \\ U(x,y,z)*F2 \\ U(x,y,z)*F3 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Davon die Divergenz:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial(U(x,y,z)*F1)}{\partial x}+\frac{\partial(U(x,y,z)*F2)}{\partial y}+\frac{\partial(U(x,y,z)*F3)}{\partial z} \end{eqnarray*}$

15.06.2013, 21:16

Che Netzer

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Und jetzt benutze die Produktregel.

15.06.2013, 21:32

Keen89

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$\begin{eqnarray*} \frac{\partial(U(x,y,z))}{\partial x}*F1+\frac{\partial(F1)}{\partial x}*U(x,y,z)+\frac{\partial(U(x,y,z))}{\partial y}*F2+\frac{\partial(F2)}{\partial y}*U(x,y,z)+\frac{\partial(U(x,y,z))}{\partial z}*F3+\frac{\partial(F3)}{\partial z}*U(x,y,z) \end{eqnarray*}$

15.06.2013, 21:36

Che Netzer

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Jetzt sortiere um, bis du siehst, dass das tatsächlich $\begin{eqnarray*} \operatorname{grad}U\cdot F+U\operatorname{div}F \end{eqnarray*}$ ist.

15.06.2013, 21:58

Keen89

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$\begin{eqnarray*} \frac{\partial(U(x,y,z))}{\partial x}*F1+\frac{\partial(U(x,y,z))}{\partial y}*F2+\frac{\partial(U(x,y,z))}{\partial z}*F3+\frac{\partial(F1)}{\partial x}*U(x,y,z)+\frac{\partial(F2)}{\partial y}*U(x,y,z)+\frac{\partial(F3)}{\partial z}*U(x,y,z)<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{\partial(U(x,y,z))}{\partial x}*F1+\frac{\partial(U(x,y,z))}{\partial y}*F2+\frac{\partial(U(x,y,z))}{\partial z}*F3+U(x,y,z)*(\frac{\partial(F1)}{\partial x}+\frac{\partial(F2)}{\partial y}+\frac{\partial(F3)}{\partial z}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =gradU*F+UdivF \end{eqnarray*}$

Passt das dann?

15.06.2013, 22:14

Che Netzer

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Sieht gut aus.

15.06.2013, 22:16

Keen89

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@Che Netzer: Vielen Dank für die große Hilfe und das du so lange mit mir bei dieser Aufgabe durchgehalten hast!

Dann noch eine kurze Frage, uch wenn sie nicht direkt zu dieser Aufgabe gehört.
Ist damit einfach die zweite Ableitung gemeint?
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \end{eqnarray*}$

15.06.2013, 22:26

Che Netzer

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Ja, das ist die partielle Ableitung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ von der partiellen Ableitung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einer Funktion (wenn man $\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \end{eqnarray*}$ denn auf diese anwendet).

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