Integralrechnung - Aufgaben

15.06.2013, 14:48

Kimyaci

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Integralrechnung - Aufgaben

Folgende Aufgaben:

[attach]30559[/attach]

$\begin{eqnarray*} a) \ I_1 = \frac{1}{6} x^6 + x + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a) \ I_2 = \frac{1}{6} x^6 + x + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a) \ I_3 = \frac{1}{10} x^{10} + \frac{1}{2}x^2 + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b) \ I_1 = \frac{1}{3}x^3 + 3x - ln ( | x | ) + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b) \ I_2 = \int \left( \frac{x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x}{x + 1} \right) \ dx \end{eqnarray*}$

Irgendwie komme ich hier nicht mehr weiter, was muss ich jetzt tun bzw. wie mach ichs am geschicktesten?

Und wenn ich schon mal frage; wieso ist von $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ die Integration ln (| x |)? Wie kann ich mir das herleiten?

15.06.2013, 15:10

lgrizu

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RE: Integralrechnung - Aufgaben
Sollen denn hier die Stammfunktionen gebildet werden? Ich vermisse ein wenig die Integrationsgrenzen....

Nehmen wir einmal an, es gehe um Stammfunktionen:

a)

I1 falsch
I2 falsch
I3 falsch

b)

I1 richtig
I2 verwirrt

verwirrt

Vielleicht ist es am einfachsten, zuerst mal die Klammern auszumultiplizieren, Stichwort binomische Formeln.....

Zitat:

Original von Kimyaci

Und wenn ich schon mal frage; wieso ist von $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ die Integration ln (| x |)? Wie kann ich mir das herleiten?

Nach dem Fundamentalsatz der Analysis:

Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), dann ist f(x)=F'(x)

Also machen wir das ganze mal andersherum, wir zeigen, dass die Ableitung des ln die Funktion 1/x ist.

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{\ln (x+h)- \ln (x)}{x+h-x}=\lim_{h \to 0} \frac{\ln (x) \cdot \ln (h)- \ln (x)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{ \ln \left( \frac{x+h}{x} \right) }{h}=\lim_{h \to 0} \ln \left( \left( 1+ \frac{h}{x} \right)^{ \frac{1}{h}} \right)= \ln \left( \exp \left( \frac{1}{x} \right) \right)= \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

15.06.2013, 15:24

Kimyaci

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Ja es soll einfach die Stammfunktion gebildet werden - es gibt keine "richtige" Aufgabenstellung dazu (siehe http://www.mp.haw-hamburg.de/pers/Vassil...nt/main-int.pdf , S. 4 ).

Ach ups, da hab ich die binomischen Formeln schon wieder komplett missachtet, sorry.

Noch mal neu:

$\begin{eqnarray*} a) \ I_1 = \int ( x^6 + 2 x^3 + 1 ) dx = \frac{1}{7}x^7 + \frac{1}{2}x^4 + x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a) \ I_2 = \int ( x^6 - 2x^4 + x^2 - x^4 + 2x^2 - 1) dx = \int ( x^6 - 3x^4 + 3x^2 - 1) dx = \frac{1}{7}x^7 + \frac{3}{5}x^5 + x^3 - x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a) \ I_3 = \int ( x^9 + 2x^5 + x) dx = \frac{1}{10}x^{10} + \frac{1}{3}x^6 + \frac{1}{2}x^2 \end{eqnarray*}$

Bei b2) weiß ich halt nicht wie ich am besten ansetzen soll...

15.06.2013, 15:30

lgrizu

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Jap, jetzt stimmt es, aber es fehlen die Integrationskonstanten.

Ich habe in den letzten Post auch noch einen kurzen Beweis geliefert, warum gilt $\begin{eqnarray*} \left( \ln (x) \right)'=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

15.06.2013, 15:38

Kimyaci

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RE: Integralrechnung - Aufgaben
Stimmt, danke für den Hinweis mit den Integrationskonstanten!

Ja ich gucks mir gerade an - hab aber noch nicht ganz den Durchblick:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{\ln (x+h)- \ln (x)}{x+h-x}=\lim_{h \to 0} \frac{\ln (x) \cdot \ln (h)- \ln (x)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{ \ln \left( \frac{x+h}{x} \right) }{h}=\lim_{h \to 0} \ln \left( \left( 1+ \frac{h}{x} \right)^{ \frac{1}{h}} \right)= \ln \left( \exp \left( \frac{1}{x} \right) \right)= \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

(1) wie kommst du auf den Initialausdruck?

(2) der vorletzten Schritt; also wo "1/h" verschwindet, den versteh ich leider nicht... :/

15.06.2013, 16:02

lgrizu

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RE: Integralrechnung - Aufgaben
Okay, dann etwas ausführlicher:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{\ln (x+h)- \ln (x)}{x+h-x} \end{eqnarray*}$

Nun ist nach Logarithmengesetz $\begin{eqnarray*} \ln \left( \frac{ a}{b} \right) = \ln (a)- \ln (b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{h \to 0} \frac{\ln (x+h)- \ln (x)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{\ln \left( \frac{ (x+h) }{x} \right) }{h} \end{eqnarray*}$

Ferner ist $\begin{eqnarray*} a \cdot \ln (b)= \ln(b^a) \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} =\lim_{h \to 0} \ln \left( \left( 1+ \frac{h}{x} \right)^{ \frac{1}{h}} \right) \end{eqnarray*}$

Dann bilden wir die Kehrwerte:

$\begin{eqnarray*} =\lim_{h \to 0} \ln \left( \left( 1+ \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{h}} \right)^{ \frac{1}{h}} \right) \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} \lim_{ h \to 0} \frac{1}{h}= \lim_{n \to \infty} n \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n \to \infty } \ln \left( \left( 1+ \frac{\frac{1}{x}}{n} \right)^{ n} \right) \end{eqnarray*}$

Und zum Schluss ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{a}{n} \right)^n=\exp(a) \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} = \ln \left( \exp \left( \frac{1}{x} \right) \right)= \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

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15.06.2013, 16:06

Kimyaci

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Wow, ich bedanke mich für die ausführliche Darstellung! Echt klasse! Ja nun hab ichs begriffen. Freude

Freude

Könntest du mir noch einen kleinen Tipp geben wie ich bei b) $\begin{eqnarray*} I_2 \end{eqnarray*}$ ansetzen sollte?

15.06.2013, 16:10

lgrizu

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dritte binomische Formel und x+1 kürzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.06.2013, 16:27

Kimyaci

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RE: Integralrechnung - Aufgaben
Bist du sicher, dass es die 3. binomische Formel ist? Denn für mich ist das einfach nur "ausmultiplizieren". Ich komme immer noch auf den selben Ausdruck wie in Beitrag #1:

$\begin{eqnarray*} b) \ I_2 = \int \left( \frac{x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x}{x + 1} \right) \ dx \end{eqnarray*}$

(x + 1) auszuklammern krieg ich nicht hin, x auszuklammern ist ja kein Problem, aber "(x+1)" überfordert mich...

16.06.2013, 10:30

lgrizu

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RE: Integralrechnung - Aufgaben
Es ist doch nach 3. binomischer Formel:

$\begin{eqnarray*} (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \end{eqnarray*}$

Im Nenner steht nun der Ausdruck $\begin{eqnarray*} x^2-1 \end{eqnarray*}$ , es ist also nach 3. binomischer Formel $\begin{eqnarray*} (x^2-1)=....? \end{eqnarray*}$

16.06.2013, 15:45

Kimyaci

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Bin ich blind oder steht im Nenner nicht (x + 1) statt (x² - 1)?

Aber:

$\begin{eqnarray*} (x^2 - 1) = (x + 1)(x - 1) \end{eqnarray*}$

Nur wohin führt mich das Ganze?

16.06.2013, 21:23

lgrizu

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Im Nenner steht x+1, ja, richtig, diesen Ausdruck möchten wir kürzen.

Eir haben:

$\begin{eqnarray*} \frac{x \cdot (x^2-1) \cdot (x+2)}{x+1} \end{eqnarray*}$

Nun hast du richtig gesagt, es ist $\begin{eqnarray*} x^2-1=(x+1) \cdot (x-1) \end{eqnarray*}$

Nun schreibe den Bruch anders hin und kürze x+1, das bringt dich auf eine ganzrationale Funktion.

16.06.2013, 22:39

Kimyaci

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Dann wäre das:

$\begin{eqnarray*} I_2 = \int \left( \frac{x \cdot (x + 1) \cdot (x - 1) \cdot (x + 2)}{x + 1} \right) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I_2 = \int \left( x \cdot (x - 1) \cdot (x + 2) \right) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I_2 = \int \left( x \cdot ( x^2 + 2x - x - 2 ) \right) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I_2 = \int \left( x^3 + x^2 - 2x \right) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I_2 = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - x^2 + C \end{eqnarray*}$

Was mir Probleme bereitet hat war folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^4+2x^3-x^2-2x}{x+1} = \frac{x \cdot (x^2 - 1) \cdot (x+2)}{x+1} \end{eqnarray*}$

Da wäre ich nicht so ohne Weiteres drauf gekommen.

16.06.2013, 22:44

lgrizu

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Zitat:

Original von Kimyaci

Was mir Probleme bereitet hat war folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^4+2x^3-x^2-2x}{x+1} = \frac{x \cdot (x^2 - 1) \cdot (x+2)}{x+1} \end{eqnarray*}$

Da wäre ich nicht so ohne Weiteres drauf gekommen.

verwirrt

aber die rechte Seite steht doch bereits in der Aufgabenstellung......

16.06.2013, 22:44

alterHund

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man probiert ganzzahlig Teiler ( auch negative ) des konstanten Gliedes des Polynoms als Lösung von Polynom = 0
(x - Lösung) ist dann ein Faktor des Polys.

17.06.2013, 00:11

Kimyaci

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Zitat:

aber die rechte Seite steht doch bereits in der Aufgabenstellung......

Da hast du recht, bin die ganze Zeit von meiner ausmultiplizierten Version ausgegangen. Oh man, sorry.

Okay aber ich mach dann mal weiter, wäre b) I3 dann:

$\begin{eqnarray*} b) \ I_3 = \int \left( \frac{x^2 - 3x + 4}{\sqrt{x}} \right) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b) \ I_3 = \int \left( (x^2 - 3x + 4) \cdot (\sqrt{x})^{-1} \right) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b) \ I_3 = \int \left( (x^2 - 3x + 4) \cdot (x^{\frac{1}{2}})^{-1} \right) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b) \ I_3 = \int \left( (x^2 - 3x + 4) \cdot x^{- \frac{1}{2}} \right) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b) \ I_3 = \int \left( x^{\frac{3}{2}} - 3x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{- \frac{1}{2}} \right) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b) \ I_3 = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 2 x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b) \ I_3 = \frac{2}{5} \sqrt{x^{5}} - 2 \sqrt{x^{3}} + 8\sqrt{x} + C \end{eqnarray*}$

In diesem Fall ging es aber nicht leichter oder bzw. stimmt das überhaupt?

17.06.2013, 00:43

lgrizu

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jap, kann man so machen....

17.06.2013, 01:08

Kimyaci

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Der Vollständigkeit halber auch noch die c):

$\begin{eqnarray*} c) \ I_1 = \int \left( \frac{(x-1)^3}{\sqrt{x}} \right) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) \ I_1 = \int \left( (x^3 - 3x^2 + 3x - 1 ) \cdot x^{-\frac{1}{2}} \right) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) \ I_1 = \int \left( x^{\frac{5}{2}} - 3x^{\frac{3}{2}} + 3x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} \right) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) \ I_1 = \frac{2}{7}x^{\frac{7}{2}} - \frac{6}{5}x^{\frac{5}{2}} + 2x^{\frac{3}{2}} - 2x^{\frac{1}{2}} + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) \ I_1 = \frac{2}{7}x^{\frac{7}{2}} - \frac{6}{5}x^{\frac{5}{2}} + 2x^{\frac{3}{2}} - 2x^{\frac{1}{2}} + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) \ I_1 = \frac{2}{7}\sqrt{x^{7}} - \frac{6}{5}\sqrt{x^{5}} + 2\sqrt{x^{3}} - 2\sqrt{x} + C \end{eqnarray*}$

Teil 2):

$\begin{eqnarray*} c) \ I_2 = \int \left( \frac{(\sqrt{x}+2)^2}{\sqrt{x}} \right) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) \ I_2 = \int \left( \frac{x + 4 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}} \right) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) \ I_2 = \int \left( (x + 4 \sqrt{x} + 4) \cdot x^{-\frac{1}{2}} \right) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) \ I_2 = \int \left( x^{\frac{1}{2}} + 4 + 4 x^{-\frac{1}{2}} \right) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) \ I_2 = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4x + 8 x^{\frac{1}{2}} + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) \ I_2 = \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + 4x + 8 \sqrt{x} + C \end{eqnarray*}$

Teil 3):

$\begin{eqnarray*} c) \ I_3 = \int \left( \frac{x-1}{\sqrt{x}+1} \right) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) \ I_3 = \int \left( (x-1) \cdot (x^{-\frac{1}{2}}+1) \right) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) \ I_3 = \int \left( x^{\frac{1}{2}} + x - x^{-\frac{1}{2}} - 1 \right) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) \ I_3 = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2}x^2 - 2x^{\frac{1}{2}} - x + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) \ I_3 = \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}} + \frac{1}{2}x^2 - 2\sqrt{x} - x + C \end{eqnarray*}$

Kann man das noch weiter zusammenfassen oder ist das so in Ordnung?

17.06.2013, 06:29

alterHund

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Teil 3 falsch $\begin{eqnarray*} x - 1 = (\sqrt{x}-1)\cdot(\sqrt{x}+1) \end{eqnarray*}$

17.06.2013, 08:08

Bürgi

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RE: Integralrechnung - Aufgaben
@Igrizu:

Ich habe ein gewaltiges Verständnisproblem. In Deiner Post Integralrechnung - Aufgaben schreibst Du:

Zitat:

Nun ist nach Logarithmengesetz $\begin{eqnarray*} \left(\frac{\ln (a)}{\ln(b)} \right)= \ln (a-b) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \ln\left(a + b \right)= \ln (a) \cdot \ln (b) \end{eqnarray*}$

Mir ist bekannt, dass
$\begin{eqnarray*} \ln(a)+\ln(b)=\ln(a \cdot b) \end{eqnarray*}$
gilt. Das von Dir zitierte Logarithmengesetz kenne ich allerdings nicht.

... und wenn ich Werte für a und b einsetze passt das auch nicht. Daher meine Bitte: Könntest Du bitte kurz erläutern, wie das zitierte Gesetz zustande kommt.
Danke!

17.06.2013, 13:35

lgrizu

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RE: Integralrechnung - Aufgaben
Jap, ist natürlcih richtig, hab mich verschrieben und das auch gar nicht angewendet, angewendet wurde das log gesetz $\begin{eqnarray*} \ln (a) - \ln (b)= \ln \left( \frac{a}{b} \right) \end{eqnarray*}$

Habs dann aber richtig angwendet (wie man nachvollziehen kann)

Den entsprechenden Post habe ich editiert...

17.06.2013, 21:16

Kimyaci

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@alterhund: Danke für den Hinweis!

Neuer Vorschlag:

$\begin{eqnarray*} c) \ I_3 = \int \left( \frac{x - 1}{\sqrt{x}+1} \right) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) \ I_3 = \int \left( \frac{(\sqrt{x}+1) (\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}+1} \right) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) \ I_3 = \int \left( x^{\frac{1}{2}}-1 \right) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) \ I_3 = \frac{2}{3} \sqrt{x^3}-x + C \end{eqnarray*}$

Ist denn nun alles (inkl. der anderen Aufgaben) okay?

17.06.2013, 21:29

alterHund

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sorry,
das letzte jezt ist ok, aber nochmals durch alle anderen sehen will ich jetz nicht mehr;

mach dich mal, natürlich nur für Überprüfung Deiner Ergebnisse, mit http://www.wolframalpha.com vertraut.

17.06.2013, 21:35

Kimyaci

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Aber wenn du Teil 3 als falsch erkannt hast, dann müssen Teil 1 und Teil 2 ja richtig sein? verwirrt

verwirrt

Ansonsten; mach ich, danke für die Mühe an alle. Freude

Freude

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