Umwandlung von komplexen Zahlen in verschiedenen Darstellungen

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Asg Auf diesen Beitrag antworten »
Umwandlung von komplexen Zahlen in verschiedenen Darstellungen
Hallo zusamme,

bei einer Übung muss ich komplexen Zahlen in unterschiedlichen Darstellungen umwandeln s. Bild.

Die Aufgabenstellung finde ich etwas schwammig:
Die Zahlen a und b befinden sich ja bereits in der algebraischen Form und können doch nicht weiter in diese Form umgewandelt werden. Genauso c (trigonometrisch) und d (exponentiell) können ja auch nicht noch mal in den jeweiligen Formel umgewandelt werden.

Verstehe ich das richtig?

Deshalb verstehe ich die Aufgabenstellung so:

a und b in folgende Formen umwandeln:
1. trigonometrische
2. exponentielle

c in folgende Formen umwandeln:
1. exponentielle
2. algebraische

d in folgende Formen umwandeln:
1. trigonometrische
2. algebraische

Die Umformung kann man doch jeweils in der Reihenfolge 1. und 2. durchführen, oder?

Meine Ergebnisse sehen dann wie folgt aus:
---------------------------------------------------------------------------
Für a:

---------------------------------------------------------------------------


trigonometrische Form:


exponentielle Form:


---------------------------------------------------------------------------
Für b:

---------------------------------------------------------------------------


trigonometrische Form:


exponentielle Form:


---------------------------------------------------------------------------
Für c:

---------------------------------------------------------------------------

c liegt in trigonometrische Form vor?
Wenn ja, dann sollte folgendes gelten:


daraus folgt:


trigonometrische Form:


exponentielle Form:


---------------------------------------------------------------------------
Für d:

---------------------------------------------------------------------------
trigonometrische Form:


algebraische Form:

--------------------------------------------------------------------------------

Und entsprechend habe ich die Zahlenwerte in das Koordinatensystem eingetragen.

Frage zu den Bezeichnungen:
Ist algebraische und kartesische Form die eine und dieselbe? Und trigonometrische und polare Form identisch?

Könnt ihr mir bitte sagen, ob es so richtig ist, wie ich es gemacht habe, oder muss ich es korrigieren?

Danke vorab

Viele Grüße

Asg
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Klarerweise sind die Angaben bereits in einer der in Frage kommenden Formen, also sind diese Zahlen jeweils in die anderen Formen zu überführen.
Die kartesische ist mit der binomischen (bzw. algebraischen Zahlenpaarform) identisch, die exponentielle entspricht im Wesentlichen der Polarform. In der trigonometrischen Darstellung bleibt im Realteil die Cos- und im Imaginärteil die Sin-Funktion erhalten.

a) und d) sind infolgedessen richtig, b) und c) solltest du dir nochmals ansehen, beim einen stimmt die trigonometrische Form nicht, beim anderen der Betrag.
Überdies liegt c) NICHT in der trigionometrischen Form vor, das sieht nur so aus ...

mY+
Asg Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo mYthos,

vielen Dank für deine Hilfe.

Zitat:
Original von mYthos
Klarerweise sind die Angaben bereits in einer der in Frage kommenden Formen, also sind diese Zahlen jeweils in die anderen Formen zu überführen.

Ja, eigentlich hast du recht, aber wenn man ohne hin bei dem Thema unsicher ist, kann einen eine solche Formulierung nicht gerade beruhigen ;-( so ging es mir jedenfalls.

Zitat:
Original von mYthos
Die kartesische ist mit der binomischen (bzw. algebraischen Zahlenpaarform) identisch, die exponentielle entspricht im Wesentlichen der Polarform. In der trigonometrischen Darstellung bleibt im Realteil die Cos- und im Imaginärteil die Sin-Funktion erhalten.

Jetzt verstehe ich es und noch dazu habe ich auch die Bezeichung "binomischen" kennengelernt.
Danke für die Klarstellung.

Zitat:
Original von mYthos
a) und d) sind infolgedessen richtig,

Schön, dass ich zumindest einen Teil davon richtig gemacht habe. Tanzen

Zitat:
Original von mYthos
b) und c) solltest du dir nochmals ansehen, beim einen stimmt die trigonometrische Form nicht, beim anderen der Betrag.

Korrektur zu b)
Ok, jetzt sehe ich es auch. bei b) habe ich ausgeklammert - dass war natürlich dumm von mir.

Ich hatte mir das Video Komplexe Zahl in trigonometrische Form umwandeln - z=1-sqrt(3)i bei YouTube angeschaut und dort wurde ausgeklammert, deshalb habe ich es auch gemacht.

Aber jetzt sehe ich den Unterschied: dort wird der Winkel mit und berechnet und hier habe ich den Winkel mit .

Korrektur zu c)
Da habe ich natürlich beim Schreiben gepfuscht. Ich habe den Text zu b) einfach hin kopiert und ihn nicht angepasst Ups

Zitat:
Original von mYthos
Überdies liegt c) NICHT in der trigionometrischen Form vor, das sieht nur so aus ...

Das hatte ich mir irgedwie gedacht ...

Dann müsste sie in der algebraischen Form vorliegen, denn in exponentieller Darstellung kann sie auch nicht sein, wenn sie nicht in trigonometrische Form ist.

Demzufolge müsste folgendes stimmen:
---------------------------------------------------------------------------
Für c:

---------------------------------------------------------------------------




daraus folgt:






trigonometrische Form:







Wenn ich die Gleichung weiter ausrechne, dann bleibt doch nur übrig und die trigonometrische Darstellung ist nicht mehr möglich.






Wie soll ich da vorgehen bzw. ist da ein Fehler?

exponentielle Form:





Habe ich nur die Aufgaben richtig gelöst oder gibt es immer noch Fehler?

Der Aufgabenteil ii) - also mit dem Eintragen in das Koordinatensystem müsste doch aber in jedem Fall für a, b, c und korrekt sein oder??

Danke dir nochmals herzlich für die Unterstützung.

Viele Grüße

Asg
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

...

---------------------------------------------------------------------------
Für b:

---------------------------------------------------------------------------


trigonometrische Form:


---------------------------------------------------------------------------

trigonometrische Form:





Den Winkel gleichzeitig über den COS und SIN (mit dem Betrag im Nenner) zu ermitteln, finde ich schon einen guten Weg.
Im Unterschied zum Tangens ist der richtige Quadrant eindeutig zu ermitteln, währenddessen der Tangens zwei mögliche liefert.

d)

Das stimmt noch immer nicht. Woher beziehst du ?
Erstens ist c genau zu bestimmen und zweitens ist es nicht 2. Bedenke, dass der Faktor 2 nur im ersten Summand steht. Deswegen stimmt hier auch nicht die geometrische Darstellung des Zeigers im Aufgabenteil ii).

Und auch bei gibt es selbstverständlich eine trigonometrische Form, eben



mY+
Asg Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Original von mYthos
trigonometrische Form:





Den Winkel gleichzeitig über den COS und SIN (mit dem Betrag im Nenner) zu ermitteln, finde ich schon einen guten Weg.

Ja, das ist mir auch aufgefallen, obwohl mit Tangens zu rechnen ist es weniger aufwendig - man rechnet ja den Winke nur 1x.

Zitat:
Original von mYthos
Im Unterschied zum Tangens ist der richtige Quadrant eindeutig zu ermitteln, währenddessen der Tangens zwei mögliche liefert.

Aber dann muss man prüfen, ob , wenn nicht, dann bzw. dazu addieren.

Somit wäre auch bei Tangens zwei Schritte zu gehen, deshalb ist wahrscheinlich doch der Sinus/Cosinus Satz der bessere und sichere Wahl, wie du sagst.

Zitat:
Original von mYthos
d)

Das stimmt noch immer nicht. Woher beziehst du ?
Erstens ist c genau zu bestimmen und zweitens ist es nicht 2. Bedenke, dass der Faktor 2 nur im ersten Summand steht. Deswegen stimmt hier auch nicht die geometrische Darstellung des Zeigers im Aufgabenteil ii).

Ich rechne die Gleichung bzw. die Zahl aus und erhalte , also ungefähr :




Die Zahl befindet sich doch in der algebraischen Form, oder?
Wenn ja, dann müsste folgendes gelten:

Die imaginäre Einheit fehlt ja in dieser Zahl, das bedeutet und somit ist .
Der Betrag wäre dann:



Was wiederum ist.



Wo ist denn bloß mein Denkfehler? verwirrt

Zitat:
Original von mYthos
Und auch bei gibt es selbstverständlich eine trigonometrische Form, eben



Ok, also die Gleichung soll doch nicht ausgerechnet werden.

Dann lasse ich sie in der trigonometrische Form stehen:


Danke schön nochmals

Viele Grüße
Asg

PS: Ich erhalte leider keine Benachrichtigung bei Antworten, obwohl ich sie in meine Profil aktiviert habe und kein Spam bei mir aktiviert ist. Deshalb ist meine Antwort verspätet...
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Asg
...

Was wiederum ist.


...
Ich rechne die Gleichung bzw. die Zahl aus und erhalte , also ungefähr :
...
Wo ist denn bloß mein Denkfehler? verwirrt
...


Der Denkfehler könnte gar kein Denkfehler sein, sondern ein Rechenfehler. Bzw. sitzt der Fehler vor dem Rechner Big Laugh
HAST DU den TR in den RAD-Mode gestellt?

mY+
 
 
Asg Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Der Denkfehler könnte gar kein Denkfehler sein, sondern ein Rechenfehler. Bzw. sitzt der Fehler vor dem Rechner Big Laugh

Dieser Fehler sitzt immer vor dem Computer und der Computer hat sich mittlerweile daran gewöhnt Big Laugh ROFL

Zitat:
Original von mYthos
HAST DU den TR in den RAD-Mode gestellt?
Ich muss mich mal wieder auf den Kopf hauen Hammer
Nein ich hatte ihn auf GRAD und gerechnet habe ich mit unglücklich

Nun müsste es mit RAD stimmen:


Trigonometrische Darstellung:


Exponentielle Darstellung:


Hier dürfte ich doch auch nicht die Gleichung ausrechnen, sonst bleibt die Zahl nicht in der exponentiellen Form, oder?

Zitat:
Original von mYthos
d)

Das stimmt noch immer nicht. Woher beziehst du ?
Du meinst nur c) und nicht d), oder??

Die Teilaufgabe ii) habe ich angepasst und x von 2 auf 1,5 gesetzt.

Nun müsste ich durch sein, oder??

Vielen vielen Dank nochmals

Gute Nacht

Liebe Grüße

Asg
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich meinte c)

Nun sieht es gut aus. smile
Asg Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos

Nun sieht es gut aus. smile

Super, DANKE mal für Big Laugh

Aber noch eine abschießende Frage:

Ob ich mit und oder mit berechne und ihn in der trigonometrische bzw. exponentielle Form einsetze, müsste ich doch das gleiche Ergebnis raus kommen, oder??

Aber dies ist nicht der Fall - oder rechne ich was falsch?

















In die Formel einsetzen:
Für sin und cos:



Wenn wir j mal kurz ignorieren.



Für tan:



Auch hier lassen wir j mal kurz weg:



Die Ergebnisse sind ja nicht identisch, wie man sieht.

Könntest Du bitte auch hier mal Licht ins Dunkle bringen? verwirrt

Danke vielmals

Viele Grüße
Asg
Asg Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Asg
Aber noch eine abschießende Frage:

Die Frage soll keinen abschießen - ich meinte natürlich abschließende Frage Augenzwinkern
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Auch der ARCSIN und der ARCCOS liefert 2 in Frage kommende Winkel, diese sind aber bei beiden zum Teil verschieden.
Jetzt brauchst du dir nur jenen Winkel heraussuchen, welcher für beide eine richtige Aussage liefert.

cos x positiv --> Winkel im 1. oder 4. Quadranten
sin x negativ --> Winkel im 3. oder 4. Quadranten

Conclusio: --> Der Winkel liegt im 4. Quadranten (1. und 3. sind falsch)

Hinweis: Der tan hat im 2. und 4. Quadranten ein negatives Vorzeichen.
Wenn man aber keine Kenntnis über die Vorzeichen des SIN und COS bzw. die Lage des Zeigers hat, hilft uns dies im Moment nicht weiter.

Auf Grund der Lage des Zeigers +1 - j (Re positv, Img negativ) sieht man allerdings auch sofort, dass dieser in den 4. Quadranten weist.
Auch dieses Mittel zur Findung des richtigen Quadranten ist legitim.

mY+
Asg Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo mYthos,

Zitat:
Original von Asg









ich sehe gerade, dass ich eine Fehler in der Berechnung von tan hatte und deshalb habe ich unterschiedliche Ergebnisse erhalten.

Richtig wäre natürlich

Zitat:
Original von mYthos

Den Winkel gleichzeitig über den COS und SIN (mit dem Betrag im Nenner) zu ermitteln, finde ich schon einen guten Weg.
Im Unterschied zum Tangens ist der richtige Quadrant eindeutig zu ermitteln, währenddessen der Tangens zwei mögliche liefert.


Zitat:
Original von mYthos

Auch der ARCSIN und der ARCCOS liefert 2 in Frage kommende Winkel, diese sind aber bei beiden zum Teil verschieden.
Jetzt brauchst du dir nur jenen Winkel heraussuchen, welcher für beide eine richtige Aussage liefert.

cos x positiv --> Winkel im 1. oder 4. Quadranten
sin x negativ --> Winkel im 3. oder 4. Quadranten


Wenn ich es richtig sehe, würde doch ausreichen, nur eine der beiden Bedingungen zu prüfen - also eine ODER-Verknüpfung.

Bei tan muss man ja auch nur prüfen, ob der Imaginärteil positiv/negativ ist.
Demzufolge ist der "Aufwand" der Prüfung bei beiden gleich. Allerdings muss man bei tan nur einmal den Winkel berechnen, während bei sin und cos muss der Winkel zweimal bestimmt werden.
Deshalb sehe ich tan als der effektivere Weg (abgesehen davon, dass ggf. 180 dazu addiert werden), den Winkel zu bestimmen.

Ist doch nicht ganz verkehrt, was ich sage oder?

Liebe Grüße
Asg

PS: Hoffentlich ist dein Kätzchen nicht dieses hier Big Laugh
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist - in welchem Fall auch immer - ohnehin nur ein Winkel zu berechnen.
Wie das geschieht, ist dir überlassen, es kann eine der Winkelfunktionen (und braucht auch nur eine) dazu verwendet werden (selbstverständlich auch der Tangens).
Das Weitere ist nur noch die Festlegung des richtigen Quadranten über die Prüfung der Vorzeichen. Bei den Vorzeichen gilt NICHT die ODER-, sondern die UND-Bedingung,
d.h. für den Winkel im richtigen Quadranten müssen BEIDE Aussagen zutreffen, also COS > 0 UND SIN < 0 im 4. Quadranten.
Nochmals, wie bereits angeraten und von dir noch nicht darauf eingegangen: Die Vorzeichen sind schon am Real- und Imaginärteil ersichtlich (Realt waagrecht, Imgt senkrecht).
Damit siehst du nach, in welchen Quadranten die Zeigerspitze weist.

BTW: Meine Katze ist (in real life) weiß. Big Laugh

mY+
Asg Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo mYthos,

Zitat:
Original von mYthos
Es ist - in welchem Fall auch immer - ohnehin nur ein Winkel zu berechnen.

Ja, Du hast recht, der Aufwand ist minimal - deshalb hatte ich auch "Aufwand" geschrieben.
Aber, wenn man diese Berechnung in einem größerem Programm mit quadratischer Laufzeit implementieren würde, denke ich, dass sich dieser minimale Unterschied evtl. bemerkbar machen wird.

Zitat:
Original von mYthos
Wie das geschieht, ist dir überlassen, es kann eine der Winkelfunktionen (und braucht auch nur eine) dazu verwendet werden (selbstverständlich auch der Tangens).
Das Weitere ist nur noch die Festlegung des richtigen Quadranten über die Prüfung der Vorzeichen. Bei den Vorzeichen gilt NICHT die ODER-, sondern die UND-Bedingung,
d.h. für den Winkel im richtigen Quadranten müssen BEIDE Aussagen zutreffen, also COS > 0 UND SIN < 0 im 4. Quadranten.


Ah ja, jetzt sehe ich es auch - DANKE!!!

Zitat:
Original von mYthos
Nochmals, wie bereits angeraten und von dir noch nicht darauf eingegangen: Die Vorzeichen sind schon am Real- und Imaginärteil ersichtlich (Realt waagrecht, Imgt senkrecht).
Damit siehst du nach, in welchen Quadranten die Zeigerspitze weist.


Entschuldige bitte, dass ich das nicht erwähnt hatte. Ich finde es auch einfacher, den Quadranten durch das Vorzeichen Re(z) und Im(z) zu ermitteln.

Vielen vielen Dank nochmal für alles.

Bis demnächst

Liebe Grüße
Asg
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Asg
Aber, wenn man diese Berechnung in einem größerem Programm mit quadratischer Laufzeit implementieren würde, denke ich, dass sich dieser minimale Unterschied evtl. bemerkbar machen wird.

Wenn man das in einem Programm braucht, sollte man prüfen, ob einem die verwendete Programmiersprache eine Funktion namens Atan2(x, y) oder ähnlich zu Verfügung stellt. Diese macht die Vorzeichenprüferei und Quadrantenzuordnung intern. Viele Programmiersprachen haben so etwas.
Asg Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Huggy,

Zitat:
Original von Huggy
Wenn man das in einem Programm braucht, sollte man prüfen, ob einem die verwendete Programmiersprache eine Funktion namens Atan2(x, y) oder ähnlich zu Verfügung stellt. Diese macht die Vorzeichenprüferei und Quadrantenzuordnung intern. Viele Programmiersprachen haben so etwas.


danke für den Hinweis. Schon wieder was neues gelernt Freude

Viele Grüße
Asg
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