Vollständige Induktion

15.06.2013, 17:08

vorschi

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Vollständige Induktion

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

(IV) $\begin{eqnarray*} (1^{2}) ^{2} =1^{4} = \frac{1(1+1)(2*1+1)}{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1=\frac{6}{6} \end{eqnarray*}$ !wahr!

(IS) $\begin{eqnarray*} s_{n+1}=\frac{(n+1)*(n+2)*[2(n+1)+1]}{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S_{n}+a_{n+1}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+ n^{2} = \frac{9n^{2}+2n }{6} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Und wenn ich
$\begin{eqnarray*} S_{n+1} \end{eqnarray*}$ weiter auflöse passt es nicht. Was ist falsch?

15.06.2013, 17:25

Derpy

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In deinem Induktionssschritt, musst du zu deiner Voraussetzung das fehlende n+1 Glied der Summe addieren.
Also $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (n+1)² \end{eqnarray*}$

Versuchs mal damit

15.06.2013, 17:37

vorschi

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$\begin{eqnarray*} \frac{15^{2}+14n+6 }{6} \end{eqnarray*}$ darauf komme ich dann, passt aber weiterhin nicht zu Sn

15.06.2013, 17:40

Bartolomeo

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Der Induktionsanfang muss $\begin{eqnarray*} 1^2=1=\frac{1*(1+1)(2*1+1)}{6} \end{eqnarray*}$ lauten.

15.06.2013, 17:43

vorschi

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Habe mich verschrieben. Hilft mir leider trotzdem nicht bei meinem Problem.

15.06.2013, 17:50

Derpy

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Zitat:

Original von vorschi
$\begin{eqnarray*} \frac{15^{2}+14n+6 }{6} \end{eqnarray*}$ darauf komme ich dann, passt aber weiterhin nicht zu Sn

Erklär mir mal bitte, wie du auf den Term kommst. Hast du einfach ausmultipliziert? Dann müsste ja ein Polynom dritten Grades rauskommen

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15.06.2013, 17:53

Bartolomeo

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Zitat:

Original von vorschi
$\begin{eqnarray*} \frac{15^{2}+14n+6 }{6} \end{eqnarray*}$

Hiermit kann niemand was anfangen. Wer soll aufgrund nur diesen Terms erkennen, wo dein Fehler liegt?!

Also:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k^2= \sum\limits_{k=1}^{n} k^2+(n+1)^2\stackrel{IV}{=} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Du musst jetzt erweitern, zusammenfassen und die Gleichheit des Zählers nachweisen.

15.06.2013, 17:55

vorschi

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$\begin{eqnarray*} \frac{3n^{2}+2n }{6} + \frac{6*(n^{2}+2n+1) }{6} \end{eqnarray*}$

Das habe ich gerechnet stimmt genau das würde nicht raus kommen aber immer nch was falsches. verwirrt

verwirrt

Wie muss es denn heissen?

15.06.2013, 18:03

Bartolomeo

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Dein Satzbau ist fürchterlich.
Der Zähler des ersten Bruches ist falsch. Es sollte in der Hochschulmathematik kein Problem sein, den Term richtig auszumultiplizieren.

15.06.2013, 18:09

vorschi

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$\begin{eqnarray*} \frac{2n^{3}+3n^{2}+n }{6} \end{eqnarray*}$

15.06.2013, 18:13

Bartolomeo

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Das ist richtig. Weiter geht's...

15.06.2013, 18:26

vorschi

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für
$\begin{eqnarray*} S_{n}+a_{n+1} \end{eqnarray*}$ komme ich dann auf $\begin{eqnarray*} \frac{2n^{3}+9n²+13n+6 }{6} \end{eqnarray*}$

bei
$\begin{eqnarray*} S_{n+1} \end{eqnarray*}$ komme ich aber auf $\begin{eqnarray*} \frac{2n^{3}+9n²+10n+6 }{6} \end{eqnarray*}$

15.06.2013, 18:45

alterHund

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laß doch mal das Ausmultiplizieren, in $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ hast Du einen Faktor $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ und Du mußt $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ adieren.

15.06.2013, 18:52

vorschi

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Ja

$\begin{eqnarray*} (n+1)³ \end{eqnarray*}$ aber wo soll ich das denn jetzt einbauen?

15.06.2013, 18:59

alterHund

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$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 \end{eqnarray*}$
jetz bring die auf einen Nenner, ohne ausmultiplizieren, ein $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ aus dem $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ ausklammern

15.06.2013, 19:11

vorschi

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$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(2n+1) }{6} + \frac{6*[(n+1)(n+1)]}{6} \end{eqnarray*}$

15.06.2013, 19:40

alterHund

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Der Zähler wird zu

$\begin{eqnarray*} (n+1) ( n(2n+1)+ 6n+6 ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (n+1)( 2n^2 + 7n + 6 ) = (n+1)(n+2)(2n+3) = (n+1)(n+2)( 2(n+1) +1 ) \end{eqnarray*}$

15.06.2013, 20:29

vorschi

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Der aller erste Schritt ist mir nicht klar, was hast du dort genau getan? verwirrt

verwirrt

15.06.2013, 20:44

alterHund

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$\begin{eqnarray*} \qquad (n+1)[n(2n+1)]\text{ das ist der erst Zähler} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} +6*(n+1)(n+1)\text{ das der zweite Zähler} \end{eqnarray*}$
=
....
$\begin{eqnarray*} \text{zu }[n(2n+1)]\text{ kommen } 6(n+1)\text{ hinzu} \end{eqnarray*}$

15.06.2013, 21:15

vorschi

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Achso, du nimmst also 6*(n+1) mit in die Klammer rein weil vorne noch ein (n+1) steht was mit dem multipliziert wird also fällt das andere weg? weil eigentlich wird es ja addiert also würde es ja eigentlich nicht in die Klamme kommen deswegen war ich verwirrt, so ist es doch oder?

16.06.2013, 07:28

alterHund

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ja,
a*b + a*c = a*(b+c)
hier ist dann
a = (n+1)
b = [n*(2n+1)]
c = 6*(n+1)

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