Bedingte Wahrscheinlichkeit

15.06.2013, 18:08

Steroid

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Meine Frage:

Ein Angler wählt zufällig einen Angelplatz $\begin{eqnarray*} O \in\{1,2,3\} \end{eqnarray*}$ und wirft seine Angel nur an diesem Platz aus. Wirft er am ersten Platz aus, so beisst ein Fisch mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ , am zweiten mit der Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p_2 \end{eqnarray*}$ und am dritten mit der Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p_3 \end{eqnarray*}$ an. Die Anzahl der Würfe W sei - unabhängig vom Angelplatz - poissonverteilt mit Paramter $\begin{eqnarray*} \lambda=40 \end{eqnarray*}$ . Sei N die Anzahl der gefangenen Fische.
Bestimme für i=1,2,3 und $\begin{eqnarray*} k \ge 0 \end{eqnarray*}$ die bedingte Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P[N=k| O=i] \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Hallo

Gegeben: $\begin{eqnarray*} P(W=j)=e^{-\lambda} \frac{\lambda^j}{j!} \end{eqnarray*}$
N ~ Bin(Würfe, p_i)
$\begin{eqnarray*} P[N=k|O=i]= \sum_{j=0}^{\infty} P[N=k|O=i,W=j] *P(W=j)= \end{eqnarray*}$

Wenn zwei unabhängige Ereignisse auf der "bedingten Seite" stehen wie ziehe ich diese auseinander oder wie rechne ich damit?

Versuch:
$\begin{eqnarray*} =\sum_{j=0}^{\infty} \frac{P(N=k \cap O=i \cap W=j)}{P(W=j)\cdot{}P(O=i)} \end{eqnarray*}$ * P(W=j)
= $\begin{eqnarray*} \sum_{j=k}^{\infty} \frac{\begin{pmatrix} j \\ k \\ \end{pmatrix} p_i^k (1-p_i)^{j-k} \cdot{} e^{-\lambda} \frac{\lambda^j}{j!}}{P(W=j)\cdot{}P(O=i)} \end{eqnarray*}$

Aber das stimmt dann nicht mit der Lösung überein. Der Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{P(W=j)\cdot{}P(O=i)} \end{eqnarray*}$ gehört weg. Aber wieso?
DIe Formel der bedingten WS ist: $\begin{eqnarray*} P(A|B)= \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{eqnarray*}$
Und die Unabhängigkeit besagt: $\begin{eqnarray*} P(A \cap B)=P(A)+P(B) \end{eqnarray*}$

Ich bitte um Aufklärung!
LG

15.06.2013, 18:12

Bartolomeo

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit

Zitat:

Original von Steroid
Und die Unabhängigkeit besagt: $\begin{eqnarray*} P(A \cap B)=P(A)+P(B) \end{eqnarray*}$

Tatsächlich verwirrt

15.06.2013, 18:18

Steroid

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Nein, sry meinte:
$\begin{eqnarray*} P(A \cap B)= P(A) * P(B) \end{eqnarray*}$

Frage bleibt Augenzwinkern

15.06.2013, 19:43

Bartolomeo

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$\begin{eqnarray*} P(W=j) \end{eqnarray*}$ kürzt sich raus und $\begin{eqnarray*} P(O=i)=\frac{1/3} \end{eqnarray*}$ . Deshalb müsste meines Erachtens noch ein zusätzlicher Faktor 3 entstehen verwirrt

15.06.2013, 21:11

Steroid

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Der gesamte Faktor gehört weg.
$\begin{eqnarray*} \sum_{j=k}^{\infty}\begin{pmatrix} j \\ k \\ \end{pmatrix} p_i^k (1-p_i)^{j-k} \cdot{} e^{-\lambda} \frac{\lambda^j}{j!} \end{eqnarray*}$
ist die Lösung des beispiels
Ich kann deinen Kommentar auch nicht gesamt lesen, wegen Fehler in der Darstellung.

15.06.2013, 21:55

Bartolomeo

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es steht noch ein $\begin{eqnarray*} P(O=i)=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ da. Naja, vielleicht kann ein Stochastikexperte noch helfen.