Matrizenmultiplikation über F2 und Körper die von R verschieden sind

15.06.2013, 18:19

noff1

Matrizenmultiplikation über F2 und Körper die von R verschieden sind

Meine Frage:
Hallo zusammen

Aus Wiki: "Die Elemente der Matrix nennt man Einträge oder Komponenten der Matrix. Sie entstammen einer Menge K, in der Regel einem Körper oder einem Ring. Man spricht von einer Matrix über K."

Es wird dann die Matrixmultiplikation definiert, indem man die Elemente Spalten und Zeilen verknüpft. HIER MEIN PROBLEM: wie soll ich denn eigentlich die Elemente der Matrizen Verknüpfen? mit den aus dem Körper definierten Verknüpfungen oder mit den üblichen "+" und "*" die man z.B. aus den Reelle Zahlen kennt? Weder das eine noch das andere ergibt für mich sehr viel Sinn, da es einerseits sehr viele Matrizen gibt die über ganz abstrakte Körper definiert sind, wie z.B. $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ . Das Gleiche Problem habe ich bei der Berechung der Determinante. Jetzt ein konkretes Beispiel:

__________________________________________________________
Ich benutze hierfür a und b statt 0 und 1 um Verwirrungen zu vermeiden...
gegeben ist $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ über {a,b} mit folgenden Verknüpfungstafeln

für Die Gruppenwirkung ({a,b},"+"):
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} + & a & b \\ a & a & b \\ b & b & a \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
und für ({a,b}\{a},"+")::
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} * & b \\ b & b \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Dies sollte eigentlich direkt aus der Definition von Körper folgen.

So, jetzt ist $\begin{eqnarray*} GL_2(F_2) \end{eqnarray*}$ dann die Menge aller Matrizen 2x2 dessen Einträge aus $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ sind, und für die die Determinante ungleich null ist.
Ein Standardbsp dafür wäre (aus unendlich viele Bücher und Skripte):

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , also in unserer Schreibweise $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b & b & \\ a & b\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
__________________________________________________________

Wie berechne ich aber die Determinante? mit den über den Körper definierten Verknüpfungen??
Weil dann weiß ich ja nicht wie ich det()=1*1-0*1 ( also det()=b*b-a*b ) rechnen soll, da die Verknüpfung "*" in der Definition vom Körper nicht für die "0" bzw "a" definiert ist (Siehe Definition von Körper!)
Das selbe Problem habe ich dann bei der Matrixmultiplication, ich kann ja nicht die übliche (wie man die z.B. aus dem Körper der Reellen Zahlen kennt) "plus" und "mal" für + und * benutzen

Meine Ideen:

Allgemein finde ich seltsam, dass bei der Berechnung von Determinanten oder bei der Multiplikation in $\begin{eqnarray*} R^{nxn} \end{eqnarray*}$ das neutrale Element der Addition, dann mit der anderen Verknüpfung unter den Tisch läuft. Ich glaube ich habe da was ganz grundlegendes nicht verstanden, aber es stellt sich langsam die Frage was es eigentlich bedeutet "mit null zu multiplizieren", und wieso ich in der Physik, in all diese Jahre keine Probleme bekommen habe Reelle und Komplexe Tensoren aller Stufen (Skalare, Vektore, Matrizen usw.), die Eigentlich über ein Körper mit den obigen Eigenschaften definiert sind, mit Null zu multiplizieren!!

Falls da jemand einem armen Physiker, der sich als noob in die Mathematik aus reinem Interesse reintastet, helfen kann, fände ich es echt super! Ich bitte um Verzeihung für die Sprachfehler, aber Deutsch ist nicht meine Muttersprache smile

. Ich hoffe die Problematik ist trotzdem einigermaßen verständlich.

15.06.2013, 19:43

RavenOnJ

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+ und $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ sind die normalen Körper- bzw. Ringoperationen. Du kannst auch in endlichen Körpern wie $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ Summen von Produkten wie $\begin{eqnarray*} a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}+a_{13}\cdot b_{32} \end{eqnarray*}$ bilden. Die $\begin{eqnarray*} a_{ik},b_{ik} \end{eqnarray*}$ sind dann Elemente aus dem Körper bzw. Ring. Es gilt ja Assoziativität, also $\begin{eqnarray*} a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}+a_{13}\cdot b_{32}=(a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22})+a_{13}\cdot b_{32} \end{eqnarray*}$ , also z.B. $\begin{eqnarray*} 1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1 = 1+1+1 = (1+1)+1 = 0+1 =1 \end{eqnarray*}$ . Hast du beispielsweise Matrizen

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix}1&1&1\\ 0&1&1\\ 1&0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix}0&1&1\\ 1&1&0\\ 0&1&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit Elementen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} A\cdot B = \begin{pmatrix}1&1&1\\ 0&1&1\\ 1&0&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0&1&1\\ 1&1&0\\ 0&1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&0&1\\ 0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Analog werden Determinanten berechnet.

Wer sagt, dass für die 0 keine multiplikative Verknüpfung definiert ist? Es gilt immer $\begin{eqnarray*} 0\cdot a = 0,a\in R \end{eqnarray*}$ , wobei R Ring oder Körper ist. Das ist nicht gesondert erwähnt, da das aus den Axiomen zwingend folgt.

Beweis: Es gilt das Distributivgesetz, also $\begin{eqnarray*} (r+s)\cdot t= r\cdot t +s\cdot t \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} s=-r \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} 0\cdot t = (r+(-r))\cdot t= r\cdot t - r\cdot t =0 \end{eqnarray*}$ . Das Element $\begin{eqnarray*} -r\cdot t := (-r)\cdot t \end{eqnarray*}$ ist das additiv inverse Element zu $\begin{eqnarray*} r\cdot t \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} (-r)\cdot t = (-1\cdot r)\cdot t = -1\cdot(r\cdot t) \end{eqnarray*}$ wegen des multiplikativen Assoziativgesetzes. Das additiv inverse Element zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist immer $\begin{eqnarray*} -a := -1\cdot a \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ das additiv inverse Element zu $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist.

15.06.2013, 19:55

noff1

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geil!! Ich war halt nur verwirrt weil wenn man die 2 Verknüpfung definiert, nimmt man immer die Menge OHNE das neutrale element der 1 Verknüpfung!
mit dem distributivgesetz ist alles klar:

0*1=(1+1)*1=1*1+1*1=1+1=0

aber, woher weiß ich dass das Distributivgesetz gelten soll?

15.06.2013, 20:01

RavenOnJ

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Zitat:

Original von noff1

aber, woher weiß ich dass das Distributivgesetz gelten soll?

Das gehört zu den Axiomen von Ring und Körper.

Bei Ringen muss allerdings noch erwähnt werden, dass sie keine 1 haben müssen und auch nicht das multiplikative Assoziativgesetz gelten muss. Außerdem können sie Nullteiler haben, also Elemente ungleich 0, die miteinander multipliziert 0 ergeben.

16.06.2013, 13:19

noff1

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Hey Raven,

Danke vielmals! Jetzt ist alles klar! smile

lg
nico

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