Schwierige Gleichung lösen

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15.06.2013, 20:55	ZappelPhillipp	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwierige Gleichung lösen Hallo an alle Das ist die Gleichung: $\begin{eqnarray} \frac{2x+12y}{8x} = \frac{12x+4y}{2y} \end{eqnarray}$ Ich möchte x und y bestimmen. Zunächst habe ich jeweils die Nenner multipliziert: $\begin{eqnarray} 4xy +24y^2 = 96x^2+32xy \end{eqnarray}$ Und nun vereinfacht: $\begin{eqnarray} 6y^2 = 24x^2+7xy \end{eqnarray}$ Aber jetzt weiß ich nicht weiter. Kann ich das auf irgendeine Weise auf eine Form bringen, um die PQ-Formel anwenden zu können? $\begin{eqnarray} 24x^2+7xy - 6y^2 = 0 \end{eqnarray}$ Substituieren? Aber mit was? Habt Ihr eine Idee oder einen Tipp? Dankeschön
15.06.2013, 21:03	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwierige Gleichung lösen Hallo, das: $\begin{eqnarray} 24x^2+7xy - 6y^2 = 0 \end{eqnarray}$ ist eine quadratische Gleichung in x. Teile die Gleichung durch 24 $\begin{eqnarray} x^2+\frac{7y}{24}x - \frac14 y^2 = 0 \end{eqnarray}$ und wende die p-q-Formel an. Wenn Du y berechnen willst entsprechend verfahren.
15.06.2013, 21:03	alterHund	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst nur entweder x, abhängig von y oder y, abhängig von x bestimmen; um die "pq Formel" anzuwenden, also entweder ganze Gleichung noch durch 24 oder -6 dividieren
15.06.2013, 21:19	ZappelPhillipp	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwierige Gleichung lösen Hallo Männer und vielen Dank Leider verstehe ich das noch nicht ganz. Wie meint ihr das mit in Abhängigkeit von y? Einfach mal x=y oder wie ist das gemeint? $\begin{eqnarray} x^2+\frac{7y}{24}x - \frac14 y^2 = 0 \end{eqnarray}$ Was ist denn hier mit diesem y^2? Wäre das nicht würde ich mitgehen und einfach die PQ-Formel anwenden. Wie mache ich das hier mit dieser Abhängigkeit? Könnt ihr mir das bitte genauer erläutern? Und noch etwas. Ich darf keinen Taschenrechner benutzen und ich bin mir nicht sicher, wie einfach sich die beiden Lösungen dieser Gleichung mithilfe der PQ-Formel berechnen lassen. Ich habe in einem ähnlichen Beispiel den Ansatz einer Substitution mit t = y/x gesehen. Aber wenn ich die Substitution anwende, bleiben immer noch einige Variable x und y übrig. Habt Ihr dazu eine Idee?
15.06.2013, 22:57	ZappelPhillipp	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwierige Gleichung lösen Gehört das vielleicht schon zur Hochschulmathematik? Falls ja, bitte dahin verschieben.
16.06.2013, 00:22	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, das kann im Schulforum bleiben. Es sei noch angemerkt, dass die Gleichung in ZWEI Variablen vorliegt, also kann man nicht eine eindeutige Lösung für x, y angeben, weil nur eine Gleichung zur Verfügung steht (außer es gibt vielleicht noch irgendwo eine zweite). Wir betrachten die Gleichung für (x, y) ungleich (0; 0) Dann ergibt die Substitution t = y/x allerdings eine eindeutige Lösung für t (!) Dividiere die Gleichung durch $\begin{eqnarray} x^2 \ (x \neq 0) \end{eqnarray}$ , dann kommt $\begin{eqnarray} 1 + \frac 7 {24} (\frac y x) - \frac 1 4 (\frac y x)^2 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac 1 4 t^2 - \frac 7 {24} t - 1 = 0 \end{eqnarray}$ Die Substitution funktioniert auch andersrum, also mit t = x/y (y ist ungleich Null) Mittels t wird der bereits angesprochene Zusammenhang zwischen x und y hergestellt. mY+
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16.06.2013, 00:33	ZappelPhillipp	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Abend mYthos Vielen Dank für deine Erklärung, jetzt habe ich die Substitution verstanden. Meinten alterHund und Bürgi etwas anderes? Also ich meine einen anderen Ansatz? Ich würde den Ansatz auch noch gerne verstehen.
16.06.2013, 00:43	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die beiden meinten im Prinzip die Tatsache, dass man eine Variable als gegeben betrachten und nach der anderen auflösen kann. Wenn dann z. B. so etwas wie x = y/3 (das ist jetzt nicht die Lösung der gegebenen Aufgabe) herauskommt, dann ist y = 3x bzw. y/x = t = 3 mY+
16.06.2013, 01:03	ZappelPhillipp	Auf diesen Beitrag antworten »
Also das ist die Gleichung: $\begin{eqnarray} 24x^2+7xy - 6y^2 = 0 \end{eqnarray}$ Hier soll ich also eine Variable als gegeben sehen und nach der anderen auflösen. Ich sehe mal y als gegeben und stelle nach x um: $\begin{eqnarray} x = \frac{6y^2-24x^2}{7y} \end{eqnarray}$ So? Was soll das bringen? Oder war eher gemeint, dass ich hier: $\begin{eqnarray} x^2+\frac{7y}{24}x - \frac14 y^2 = 0 \end{eqnarray}$ Einfach die PQ-Formel anwende und in meiner Lösung dann x_1, x_2 = irgendetwas mit y erhalte. Und nicht wie gewohnt nur eine Zahl?
16.06.2013, 01:18	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Letzteres! Du behandelst einfach y als konstant und löst nach x auf! So ist es. mY+

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