Stammfunktion gesucht

15.06.2013, 22:36

Kimyaci

Stammfunktion gesucht

Ich hoffe es ist in Ordnung, dass ich so viele Fragen stelle. Augenzwinkern

Es geht wieder um 'ne Stammfunktion:

$\begin{eqnarray*} I_1 = \int \frac{x^2}{2(1+x^2)} dx \end{eqnarray*}$

Erst mal die zwei wegbekommen:

$\begin{eqnarray*} I_1 = - \frac{1}{2} \int - \frac{x^2}{1+x^2} dx \end{eqnarray*}$

Da steckt ja nun arc tan (x) drin, muss es "nur" noch schaffen es umzuformen.

$\begin{eqnarray*} I_1 = - \frac{1}{2} \int \left(\frac{1}{1+x^2} - 1 \right) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I_1 = - \frac{1}{2} \left( arc \ tan \ (x) - x+ C\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I_1 = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} arc \ tan \ (x) - \frac{C}{2} \end{eqnarray*}$

Darf ich die Integrationskonstante halbieren oder füge ich sie einfach immer ganz zum Schluss mittels "+ C" hinzu?

16.06.2013, 00:10

mYthos

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Du kannst die Konstante ohne Weiteres halbieren und statt dessen C1 oder ln(C2) oder wiederum C ... schreiben, das ist piepegal. Denn diese Konstante kann ja einen beliebigen Wert haben.

Die Sache mit dem ln hat einen interessanten Hintergrund, denn anstatt beispielsweise ln(x) + C1 ergibt sich dann ln(x) + ln(C) = ln(C*x)

mY+

16.06.2013, 00:46

Mathewolf

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Das Ergebnis ist zwar richtig. Aber du zauberst das Ergebnis der Umformung einfach aus dem Hut. Und unnötig schwer machst du es dir auch noch.

Es gilt doch

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{1+x^2}=\frac{1+x^2-1}{1+x^2}=\frac{1+x^2}{1+x^2}-\frac1{1+x^2}=1-\frac1{1+x^2} \end{eqnarray*}$ .

Somit erhältst du

$\begin{eqnarray*} \int\frac{x^2}{2(1+x^2)}=\frac12\int\left(1-\frac1{1+x^2}\right)dx \end{eqnarray*}$

Nenn die Integrationskonstante einfach C'. Die halbierst du dann und definierst

$\begin{eqnarray*} C:=\frac{C'}2 \end{eqnarray*}$ .

edit: Ui, mYthos war schon viieell schneller.

16.06.2013, 00:50

Kimyaci

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{1+x^2}=\frac{1+x^2-1}{1+x^2}=\frac{1+x^2}{1+x^2}-\frac1{1+x^2}=1-\frac1{1+x^2} \end{eqnarray*}$ .

So kommt man also drauf, ich hab lange überlegt um auf "-1" zu kommen. Den Trick hab ich zuvor leider nirgends gelernt. Ist aber nützlich, vielen Dank!

@mYthos: Welchen Hintergrund hat ln denn nun? Das konnte ich nicht wirklich entnehmen.

16.06.2013, 00:55

mYthos

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Beim Logarithmus?
Der Sinn ist der, dass man die Konstante in den Logarithmus hineinziehen kann, nichts weiter Big Laugh

Es war nur ein anderes Beispiel!

mY+

16.06.2013, 00:58

Kimyaci

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Alles klar, habs nun begriffen. Danke. Augenzwinkern

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