Höhenliniendiagramm

16.06.2013, 11:57

Keen89

Höhenliniendiagramm

Habe folgende Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) = 1/4*x^2+y^2 \end{eqnarray*}$

a) Zeichnen Sie für $\begin{eqnarray*} z=f(x,y) \end{eqnarray*}$ ein Höhenliniendiagramm in der (x,y)-Ebene. Wählen Sie für die Höhenlinien die Werte z = 1,4,9. Verwenden Sie als Maßstab (1 = 1 cm).

b) Zeichnen Sie am Punkt $\begin{eqnarray*} P = (1,\sqrt3/2) \end{eqnarray*}$ den Gradienten von f(x,y) sowie die Tangentialgerade zur Höhenlinie durch P ein. Welche Relation besteht zwischen der Tangentialgerade und dem Gradienten von f(x,y) in P?

So... nun erstmal zur a):
Wenn ich z = f(x,y) setze bekomme ich die 3 Gleichungen für 3 Höhenlinien:
I) $\begin{eqnarray*} 0 = 1/4*x^2+y^2 - 1 \end{eqnarray*}$
II) $\begin{eqnarray*} 0 = 1/4*x^2+y^2 - 4 \end{eqnarray*}$
III) $\begin{eqnarray*} 0 = 1/4*x^2+y^2 - 9 \end{eqnarray*}$
Nun kann ich jeweils x=0 bzw. y=0 setzen und bekomme zu jeder Gleichung 4 Punkte. Diese kann ich schonmal einzeichnen. Aber 4 Punkte pro Höhenlinie sind ein bisschen wenig um sie zu zeichnen. Wie bekomme ich dann mehr?

16.06.2013, 12:32

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Höhenliniendiagramm

Zitat:

Original von Keen89
...
Nun kann ich jeweils x=0 bzw. y=0 setzen und bekomme zu jeder Gleichung 4 Punkte. Diese kann ich schonmal einzeichnen.
...

Mehr Punkte bekommst du durch Einsetzen anderer Werte. Das ist allerdings etwas mühsam.
Die Gleichungen der Höhenlinien stehen doch gleichsam schon da, denn sie sind parallel zur x-y - Ebene

I) x^2 + 4y^2 = 4
...

Um welche Kurven handelt es sich?

mY+

16.06.2013, 12:52

Keen89

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann habe ich die Gleichungen:

I) $\begin{eqnarray*} x^2+4y^2 = 4 \end{eqnarray*}$
II) $\begin{eqnarray*} x^2+4y^2 = 16 \end{eqnarray*}$
III) $\begin{eqnarray*} x^2+4y^2 = 36 \end{eqnarray*}$

Aber was sollen das für Kurven sein? Wie sieht man das?

16.06.2013, 13:24

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Dividiere die Gleichungen durch 4 ( 16, 36), sodass rechts jeweils 1 steht.
Jetzt sollten dir die Gleichungen bekannt vorkommen.

(Hinweis: Bei der Fläche handelt es sich um ein elliptisches Paraboloid)

17.06.2013, 10:22

Keen89

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann habe ich folgendes:

I) $\begin{eqnarray*} 1/4*x^2+y^2 = 1 \end{eqnarray*}$
II) $\begin{eqnarray*} 1/16*x^2+1/4*y^2 = 1 \end{eqnarray*}$
III) $\begin{eqnarray*} 1/36*x^2+1/9*y^2 = 1 \end{eqnarray*}$

Aber wie sieht man nun wie man das zeichnen muss? Ich sehe da leider nichts Hammer

17.06.2013, 11:06

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Gleichung $\begin{eqnarray*} z=\tfrac{1}{4} x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ kann man nach Division durch z auf die Form bringen

$\begin{eqnarray*} 1=\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a=2\sqrt{z} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=\sqrt{z} \end{eqnarray*}$

Bekanntlich beschreibt die Formel $\begin{eqnarray*} 1=\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2} \end{eqnarray*}$ eine allgemeine Ellipse mit den Halbachse a in x-Richtung und b in y-Richtung. Um konkrete Ellipsen zu bekommen, setzen wir für z beliebige Werte ein und bekommen gewisse Ellipsen mit den zugehörigen Halbachsen, z.B.:

z=1 ergibt a=2, b=1
z=4 ergibt a=4, b=2
z=9 ergibt a=6, b=3

Zeichne die 3 Ellipsen mit diesen Halbachsen!
-----------------------------------------------------------------------------
Geometrisch ist die Formel $\begin{eqnarray*} z=\tfrac{1}{4} x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ ein nach oben geöffneter, ellipsenförmiger Kegel, dessen Spitze auf dem Nullpunkt (0|0|0) steht. Schneidet man diesen Kegel in den Höhen z=1, z=4, z=9 durch (parallel zur xy-Ebene), sind die Schnittflächen gerade die 3 obigen Ellipsen.

Neue Frage »

Antworten »

Höhenliniendiagramm

Verwandte Themen