Möbiustransformation

16.06.2013, 13:17	Inschenör	Auf diesen Beitrag antworten »
Möbiustransformation Meine Frage: hey! Folgende aufgabe muss ich lösen: Seien $\begin{eqnarray} z_1,z_2,z_3\in \mathbb C \cup \{\infty\} \end{eqnarray}$ paarweise verschieden. Dann ist $\begin{eqnarray} DV(z,z_1,z_2,z_3):=\frac{z-z_1}{z-z_3}\cdot\frac{z_2-z_3}{z_2-z_1} \end{eqnarray}$ das doppelverhältnis. Zeigen sie: es gibt genau ein $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix},\quad a,b,c,d\in \mathbb C ,\quad ad-bc\neq 0 ,\quad Az:=\frac{az+b}{cz+d} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} Az_1=0,\ Az_2=1,\ Az_3=\infty \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Wenn ich es so mache: $\begin{eqnarray} DV(z=z_2,z_1=\infty,z_2,z_3)=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} DV(z=z_3,z_1,z_2=\infty,z_3)=\infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} DV(z=z_1,z_1,z_2,z_3=\infty)=0 \end{eqnarray}$ bekomme ich irgwie, was ich will. Aber irgwie versteh ichs trotzdem nicht. Das wären jetzt ja 3 unterschiedliche doppelverhältnisse. Gesucht ist aber nur genau ein $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Mir fehlt irgwie der zusammenhang. Kann mir da jemand auf die sprünge helfen?
16.06.2013, 14:00	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Möbiustransformation Was soll denn dieses $\begin{eqnarray} =\infty \end{eqnarray}$ in den Doppelverhältnissen. Es ist doch schon $\begin{align} \operatorname{DV}(z_1,z_1,z_2,z_3)&=0\,,&\operatorname{DV}(z_2,z_1,z_2,z_3)&=1\,,&\operatorname{DV}(z_3,z_1,z_2,z_3)&=\infty\,. \end{align}$ Die zu zeigende Aussage stimmt übrigens gar nicht. Die Matrix ist nicht eindeutig; das ist nur die zugehörige Möbius-Transformation.
16.06.2013, 14:58	Inschenör	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Möbiustransformation Du hast mir sehr geholfen, danke. Dann muss ich wohl nur noch zeigen, dass das doppelverhältnis eine möbiustransformation ist. Und zeigen, dass diese eindeutig ist?
16.06.2013, 15:01	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Möbiustransformation Du könntest zeigen, dass die drei Bedingungen die vier Koeffizienten bis auf ein skalares Vielfache bestimmen (welches die Abbildung natürlich nicht verändert).

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