Matrixdarstellung bezüglich Basen - Seite 2

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Nofeys Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee von Martin war genau richtig und du zwingst ihm deine Lösung auf. Das ist sehr unschön.
Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hat es eventuell damit zu tun, dass ich ein Element von Y z.b. u gleichsetze mit der Linearkombination von Y wie es in diesem Fall eigentlich ist?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nofeys
Die Idee von Martin war genau richtig und du zwingst ihm deine Lösung auf. Das ist sehr unschön.


Also bitte, ich zwinge ihm doch keine Lösung auf. Es gibt nur eine Lösung und wenn er nicht die Einheitsmatrix rausbekommen hat, dann ist seine Lösung halt falsch. Ich habe eher den Verdacht, dass er die Aufgabe aus Post 1 nicht richtig verstanden hat.
Nofeys Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Martin, ich glaube ich verstehe deine Verständnisprobleme wesentlich besser, als RavenOnJ.
Wenn du magst, können wir diesen Thread per PN weiterführen.

Ich halte es sowieso für sehr unhöflich, dass RavenOnJ hier hereingeplatzt ist.

Edit: Das ist es ja: Mit seinem Weg hätte er die Einheitsmatrix bekommen. Das verstehst du aber offenbar nicht. Der einzige Grund, warum er das noch nicht raus hat, ist, weil du ihm gesagt hast, sein Weg sei falsch.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

@Nofeys
Ich bin hier nur "reingeplatzt", weil er auf einem unnötigen Umweg war (worauf du ihn nicht hingewiesen hast) und er es bis jetzt nicht verstanden hat, warum das ein Umweg ist.

Was daran unhöflich sein soll, wenn man jemandem von einem falschen Weg abbringen will, verstehe ich nicht ganz.
Nofeys Auf diesen Beitrag antworten »

Der Weg ist nicht falsch.
 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nofeys
Der Weg ist nicht falsch.


OK, nicht falsch, aber furchtbar umständlich und mit Sicherheit nicht im Sinne des Aufgabenstellers.
Nofeys Auf diesen Beitrag antworten »

Auf die Umständlichkeit habe ich ihn sehr wohl hingewiesen. Siehe erster Post von mir, nachdem er seinen Vorschlag gepostet hat. Der einzige Grund, warum das nicht direkt hinter seinem Post steht, ist weil einer von dir dazwischen ist.

Es kann auch nicht schaden, wenn man erstmal einen umständlichen Weg geht und sich danach fragt, ob es einfacher geht. Es ist in jedem Fall besser, als erstmal garnichts zu verstehen, weil einem jemand sagt, sein Weg sei falsch, obwohl er richtig ist.
Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die hilfreichen Antworten. Ich denke mal, das der schriftliche Lösungsweg nun richtig ist, wobei man jedoch bereits zuvor das Ergebnis ablesen kann (Nämlich die Einheitsmatrix). Vermutlich liegt das an der Linearkombination mit yi=a1y1+a2y1+a3y3, wobei i=1,2,3. Aber wie lautet den nun der richtige Grund weshalb die Einheitsmatrix exakt herauskommt ?
Nofeys Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, im Prinzip sind die Spalten der darstellenden Matrix von Phi bezüglich der Basen X und Y nunmal die Bilder der Basis X dargestellt als Linearkombination der Basis Y.

Hast du nun Phi(x_i) = y_i für alle i = 1,2,3 , so ist das in der i-ten Spalte eben genau 1*y_i und 0*y_j für alle j ungleich i.

heißt a_ii = 1, a_ij = 0 falls i ungleich j.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nofeys
Auf die Umständlichkeit habe ich ihn sehr wohl hingewiesen.


Du hast geschrieben, es ginge einfacher, wolltest ihn aber auf seinem Umweg weitergehen lassen. Ich finde sowas unnötig, da es meiner Meinung nach nicht das Verständnis fördert.

Zitat:

Es kann auch nicht schaden, wenn man erstmal einen umständlichen Weg geht und sich danach fragt, ob es einfacher geht. Es ist in jedem Fall besser, als erstmal garnichts zu verstehen, weil einem jemand sagt, sein Weg sei falsch, obwohl er richtig ist.


Im Sinne eines Lerneffektes magst du da recht haben. Du hättest aber anstatt gegen mich zu stänkern Martin einfach mal darauf hinweisen können, dass mein Weg der eindeutig elegantere ist und seiner ein ziemlicher Umweg. Damit wäre allen gedient gewesen.

Ich denke, es waren deine Einsprüche gegen meinen Weg, die ihn vor allem verwirrt haben.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nofeys
Nun, im Prinzip sind die Spalten der darstellenden Matrix von Phi bezüglich der Basen X und Y nunmal die Bilder der Basis X dargestellt als Linearkombination der Basis Y.

Hast du nun Phi(x_i) = y_i für alle i = 1,2,3 , so ist das in der i-ten Spalte eben genau 1*y_i und 0*y_j für alle j ungleich i.

heißt a_ii = 1, a_ij = 0 falls i ungleich j.


Das ist halt genau das, was ich vor gefühlten 100 Posts schon mal geschrieben hatte, nämlich hier.
Nofeys Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Du hast geschrieben, es ginge einfacher, wolltest ihn aber auf seinem Umweg weitergehen lassen. Ich finde sowas unnötig, da es meiner Meinung nach nicht das Verständnis fördert.


Du findest das vielleicht unnötig. Ich nicht, denn man lernt nichts, wenn man nur Lösungen von anderen kopiert. Wenn man seine eigenen Ideen verfolgt, kommt man im Verständnis weiter.

Da haben wir nun verschiedene Meinungen. Da ich aber nunmal den Thread übernommen hatte, hast du das zu respektieren. Ich platze auch nicht in deine Threads rein.

Niemand wäre hier verwirrt gewesen, wenn du dich von Anfang an herausgehalten hättest.

Edit:

Zitat:
Das ist halt genau das, was ich vor gefühlten 100 Posts schon mal geschrieben hatte.


Ja und ich schreibe es, nachdem er die richtige Lösung bereits selbst gefunden hat. So sieht er den eleganten Weg und hat trotzdem eine eigene Lösung.
Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nofeys
Nun, im Prinzip sind die Spalten der darstellenden Matrix von Phi bezüglich der Basen X und Y nunmal die Bilder der Basis X dargestellt als Linearkombination der Basis Y.

Hast du nun Phi(x_i) = y_i für alle i = 1,2,3 , so ist das in der i-ten Spalte eben genau 1*y_i und 0*y_j für alle j ungleich i.

heißt a_ii = 1, a_ij = 0 falls i ungleich j.


Vielen dank. Ein sehr wichtiger Punkt den ich bisher nicht wusste!
Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Zitat:
Original von Nofeys
Nun, im Prinzip sind die Spalten der darstellenden Matrix von Phi bezüglich der Basen X und Y nunmal die Bilder der Basis X dargestellt als Linearkombination der Basis Y.

Hast du nun Phi(x_i) = y_i für alle i = 1,2,3 , so ist das in der i-ten Spalte eben genau 1*y_i und 0*y_j für alle j ungleich i.

heißt a_ii = 1, a_ij = 0 falls i ungleich j.


Das ist halt genau das, was ich vor gefühlten 100 Posts schon mal geschrieben hatte, nämlich hier.


Das mit dem Bild hatte ich wohl überlesen. Aber ich denke, es ist besser für mich erst einmal die Aufgabe zu berechnen, um ein Gefühl dafür zu bekommen und anschließend den Zusammenhang zu erkennen mit dem Bild der Basis X.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Martin1

Vielen dank. Ein sehr wichtiger Punkt den ich bisher nicht wusste!


Das ist ja gut, dann hattest du dieses Posting anscheinend nicht gelesen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Martin1

Das mit dem Bild hatte ich wohl überlesen. Aber ich denke, es ist besser für mich erst einmal die Aufgabe zu berechnen, um ein Gefühl dafür zu bekommen und anschließend den Zusammenhang zu erkennen mit dem Bild der Basis X.


Vermutlich hast du jetzt einiges gelernt Augenzwinkern . Wofür so eine Auseinandersetzung doch gut sein kann ...

Ich gebe zu, dass ich wohl etwas zu voreilig praktisch die Lösung hingeschrieben habe.
Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Zitat:
Original von Martin1

Vielen dank. Ein sehr wichtiger Punkt den ich bisher nicht wusste!


Das ist ja gut, dann hattest du dieses Posting anscheinend nicht gelesen.


Doch diesen Post hatte ich gelesen, jedoch den Zweck den du zeigen wolltest, falsch verstanden.

Edit: Hallo, ich würde gerne noch die letzte der drei Teilaufgaben berechnen. Es handelt sich um folgende Teilaufgabe:

Berechne die Bilder von phi(e1),phi(e2) und phi(e3) } und die Matrixdarstellung M(phi) von phi bzgl. der Standardbasis E3={e1,e2,e3}.

Ich weiss wie man das Bild einer Abbildung berechnet. Jedoch weiss ich nicht wirklich hier was den nun phi(x) ist. Könnt ihr mir da weiterhelfen wie ich das eventuell herausbekommen kann?
Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »

Jemand eine Idee? Mich würde vor allem interessieren um welche Abbildung es sich überhaupt handelt.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich übernehme mal. Wenn einer der anderen beiden wiederkommt, kann derjenige wieder übernehmen.

Sollst du wirklich die Bilder von , also bestimmen? Auch im Kontext der nächsten Aufgabe halte ich das für unwahrscheinlich.

Für die Matrixdarstellung von bezüglich der Standardbasis kannst du ebenso vorgehen, wie bei der vorigen Aufgabe.

Stelle die Bilder der Einheitsvektoren als Linearkombinationen der Einheitsvektoren dar.
Ist das Problem, wie du die Bilder der Einheitsvektoren bestimmen kannst?
Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Aufgabe lautet exakt wie folgt:

"Berechne die Bilder von phi(e1),phi(e2) und phi(e3) } und die Matrixdarstellung M(phi) von phi bzgl. der Standardbasis E3={e1,e2,e3}"

Sind denn die Bilder der Einheitsvektoren nicht einfach die Vektoren selbst? Es gibt ja die Möglichkeit die Bilder direkt aus der Matrix herauslesen zu können. Nämlich die Spalten. Das wären doch die ganz normalen Einheitsvektoren.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Es gibt ja die Möglichkeit die Bilder direkt aus der Matrix herauslesen zu können. Nämlich die Spalten.


Ja, aber du hast die Matrix ja noch nicht, die willst du ja gerade bestimmen :P


Zitat:
Sind denn die Bilder der Einheitsvektoren nicht einfach die Vektoren selbst?


Nein, wie kommst du darauf?


Zitat:
"Berechne die Bilder von phi(e1),phi(e2) und phi(e3) } und die Matrixdarstellung M(phi) von phi bzgl. der Standardbasis E3={e1,e2,e3}"


Hmm, ich denke trotzdem, du sollst hier einfach phi(e1),phi(e2) und phi(e3) berechnen.
Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »

Vergess das was ich erwähnt hatte, das war Schwachsinn das in diesem Fall die Einheitsvektoren selbst die Bilder sind. Freude

Also ich brauche jetzt drei Vektoren die ich mit der Linearkombination der Einheitsvektoren e1,e2,e3 gleichsetzen muss um somit die Matrixdarstellung berechnen zu können. Diese drei gesuchten Vektoren sind die Bilder der Einheitsvektoren wenn ich das richtig nun verstanden habe.

Wie komm ich den da nun hin?

Gibt es eventuell ein allgemeines Verfahren um das Bild eines Velktors zu berechnen? Ich weiss, dass ich z.b. von einer Linearen Abbildung V->W das Bild herausbekomme indem ich eine Basis von V in diese Abbildung einsetze. Ist dasselbe, als wenn ich diese in Matrixform überführe und dann ihre Spalten ablese. Aber wie mach ich das hier?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Gibt es eventuell ein allgemeines Verfahren um das Bild eines Velktors zu berechnen? Ich weiss, dass ich z.b. von einer Linearen Abbildung V->W das Bild herausbekomme indem ich eine Basis von V in diese Abbildung einsetze. Ist dasselbe, als wenn ich diese in Matrixform überführe und dann ihre Spalten ablese. Aber wie mach ich das hier?


Ja, gibt es.

Du hast ja eine Basis . Das heißt du kannst finden mit

Dann gilt

Analog für .

Alles klar?
Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen dank für die Mühe!

Ist das den aber nicht auch z.b. gleich die 1. Spalte der Darstellungsmatrix ? Diese wird ja auch so berechnet und sofern ich es richtig verstanden habe, sind die Spalten der Darstellungsmatrix das Bild des verwendeten Vektors, welcher als Linearkombination der Basis dargestellt wird.

In diesem Fall ist ja die Basis die Standardbasis. Wäre den dann nicht die Darstellungsmatrix die Einheitsmatrix, da ich jeden Vektor der Standardbasis als Linearkombination der Standardbasis darstelle.

Etwas verwirrt bin ich schon.

Edit: Kann es sein, dass die Aufgabe doppeltgestellt ist?

"Berechne die Bilder von phi(e1),phi(e2) und phi(e3) } und die Matrixdarstellung M(phi) von phi bzgl. der Standardbasis E3={e1,e2,e3}"

Denn die Bilder sind ja die Spalten der Matrixdarstellung M(phi) bzgl. der Standardbasis oder?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, du hast schon Recht, die Bilder der Einheitsvektoren sind genau die Spalten der Darstellungsmatrix bezüglich der Standardbasis. Aber was bringt dir das ? Genau diese Matrix hast du ja noch nicht.

Nein, die Darstellungmatrix ist hier nicht die Einheitsmatrix.
Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »

Super, dann glaube ich es nun verstanden zu haben.

Heißt das, dass ich nun das Bild von e1=(1,0,0) und gleichzeitig die erste Spalte der Matrixdarstellung wie folgt berechnen kann:

(1,0,0)=a1*(1,0,0)+a2*(0,1,0)+a3*(0,0,1)

Wobei die Lösungsmenge das gesuchte Bild von (1,0,0) ist und gleichzeitig die SPalte von der Matrixdarstellung darstellt.

Analog berechnen sich die anderen zwei Bilder und Spalten wie folgt:

(0,1,0)=a1*(1,0,0)+a2*(0,1,0)+a3*(0,0,1)
(0,0,1)=a1*(1,0,0)+a2*(0,1,0)+a3*(0,0,1)
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, lies meine Beiträge nochmal aufmerksam. Deine Basis X ist nicht die Standardbasis.

Edit: Und ich wiederhole mich auch gerne nochmal:

Zitat:
Nein, die Darstellungmatrix ist hier nicht die Einheitsmatrix.
Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Zitat:
Gibt es eventuell ein allgemeines Verfahren um das Bild eines Velktors zu berechnen? Ich weiss, dass ich z.b. von einer Linearen Abbildung V->W das Bild herausbekomme indem ich eine Basis von V in diese Abbildung einsetze. Ist dasselbe, als wenn ich diese in Matrixform überführe und dann ihre Spalten ablese. Aber wie mach ich das hier?


Ja, gibt es.

Du hast ja eine Basis . Das heißt du kannst finden mit

Dann gilt

Analog für .

Alles klar?


Demnach soll ich erst die Lambdas berechnen und somit e1,e2,e3 darstellen als die Linearkombination der Basis X. Was stellen diese da? Was machst du danach? Das verstehe ich nicht ganz so recht. Anscheinend machst du dasselbe noch einmal mit den Vektoren der Basis Y.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst doch irgendwie berechnen.

Das einzige, was du über weißt, ist, worauf die Basis abgebildet wird. Sonst weißt du doch nichts über . Also musst du dir das irgendwie zunutze machen. Das kannst du dann eben tun, indem du als Linearkombination der darstellst.

Magst du dazu eine präzise Frage stellen, was daran unklar ist?

Lg Guppi
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Die Abbildung ist genau dieselbe Abbildung wie wir gestern behandelt haben, nur dass jetzt alles in der Standardbasis dargestellt werden soll.

sei die Standardbasis, .

Es gilt weiterhin usw. . Guppi benutzt nur diese Beziehungen, um die Form von zu finden, d.h. die Matrix von bei einem Basiswechsel von nach . Letztendlich ist jetzt aber die Matrix gesucht, d.h. die Darstellung von in der Standardbasis. Für die gilt folgende Beziehung:



mit der Identitätsabbildung . Die Matrix vermittelt nur einen Basiswechsel von der Standardbasis zur Basis und vermittelt einen Basiswechsel von zur Standardbasis. Für hast du ja gestern rausgefunden, dass das die Einheitsmatrix ist.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, bin dann wieder raus, hab nur zwischenzeitlich übernommen smile

Lg Guppi
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Ok, bin dann wieder raus, hab nur zwischenzeitlich übernommen smile

Lg Guppi


Nee, du kannst gerne weiternachen, ich gucke eh grad fern Augenzwinkern . Das war nur ein kurzer Einwurf von mir.
Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn tatsächlich dieselben Abbildungen gelten, dann muss ich einfach

(0,2,2)=a1*(1,0,0)+a2*(0,1,0)+a3*(0,0,1)
(1,1,0)=a4*(1,0,0)+a5*(0,1,0)+a6*(0,0,1)
(0,0,1)=a7*(1,0,0)+a8*(0,1,0)+a9*(0,0,1)

Die Lösungsmengen sind dann die Spalten der Matrixdarstellung. Sind dann die Spalten die Bilder von phi(e1),phi(e2) und phi(e3) ?

Entschuldigung, aber auf einmal ist das alles wirklich sehr verwirrend. traurig
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist immernoch nicht richtig.

Was du hier versuchst, ist, die Basis Y als Linearkombination der Einheitsvektoren darzustellen. Eigentlich musst du aber die Einheitsvektoren als Linearkombination der Basis von X darstellen. Wenn du das hast, kannst du die Bilder der Einheitsvektoren berechnen.

Falls dir die Transformationsformel für Basiswechsel schon geläufig ist, solltest du dir RavenOnJ's Beitrag auch nochmal genau anschauen. Das ist eigentlich ein schönerer Weg(nach meinem Empfinden, aber das ist subjektiv).
Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, die Transformationsformel ist mir noch nicht bekannt.

Wie kommst du darauf das ich X als Linearkombination aufstellen muss um ebend die einzelnen Einheitsvektoren als diese darzustellen? Bei der Teilaufgabe ist kein Wort von X gegeben.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, ich weiß nicht, was ich dazu noch sagen soll, wenn du keine konkrete Frage stellst. Du möchtest doch bestimmen. Wie das geht, habe ich bereits hier geschrieben:


Zitat:
Du hast ja eine Basis . Das heißt du kannst finden mit .

Dann gilt Analog für . Alles klar?


Was ist daran unklar, dass das eine Möglichkeit ist, zu berechnen?
Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Hi, ich weiß nicht, was ich dazu noch sagen soll, wenn du keine konkrete Frage stellst. Du möchtest doch bestimmen. Wie das geht, habe ich bereits hier geschrieben:


Zitat:
Du hast ja eine Basis . Das heißt du kannst finden mit .

Dann gilt Analog für . Alles klar?


Was ist daran unklar, dass das eine Möglichkeit ist, zu berechnen?


Ja aber weshalb wird es den so gemacht? Also ich meine die zwei Schritter. Du bekommst ja, wenn du die Einheitsvektoren als Linerkombination der Basis X darstellst, eine Matrix heraus bzw. drei Vektoren. Was sind das genau für Vektoren? Und wie verfahr ich dann mit den weiter? Du machst dasselbe noch einmal mit der Linearkombination der Basis Y. Diesen Schritt habe ich nicht ganz verstanden.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hää? ich mache überhaupt nichts mit der Basis Y. Ich verwende lediglich

Zitat:
Ja aber weshalb wird es den so gemacht?


Weil das genau die Möglichkeit ist, zu verwenden, dass du eben die Bilder der Basis X kennst. Du weißt doch sonst nichts über Phi. Wie willst du denn sonst die Bilder ausrechnen, wenn nicht mit Hilfe der einzigen Information, die du über Phi hast?
Martin1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Hää? ich mache überhaupt nichts mit der Basis Y. Ich verwende lediglich

Zitat:
Ja aber weshalb wird es den so gemacht?


Weil das genau die Möglichkeit ist, zu verwenden, dass du eben die Bilder der Basis X kennst. Du weißt doch sonst nichts über Phi. Wie willst du denn sonst die Bilder ausrechnen, wenn nicht mit Hilfe der einzigen Information, die du über Phi hast?


Das wird sicherlich richtig sein, aber ich bekomm es einfach nicht hin zu verstehen warum. traurig
Kannst du bitte ein Bild berechnen als Beispiel?
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