Matrixdarstellung bezüglich Basen - Seite 3

18.06.2013, 09:38	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe zwar nicht, was schwer daran ist, eine Schritt für Schritt Anweisung einfach entlangzugehen, aber ich kann dir das trotzdem mal am Beispiel von e1 zeigen. Wir haben $\begin{eqnarray} X = \{x_1,x_2,x_3\}= \{(1,0,1),(0,0,2),(0,3,0)\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y=\{y_1,y_2,y_3\}=\{(0,2,2),(1,1,0),(0,0,1)\} \end{eqnarray}$ Wir haben $\begin{eqnarray} \phi(x_i) = y_i \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i\in\{1, 2, 3\} \end{eqnarray}$ Wir wollen $\begin{eqnarray} \phi(e_1) \end{eqnarray}$ bestimmen. Dafür müssen wir $\begin{eqnarray} \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \end{eqnarray}$ finden mit $\begin{eqnarray} e_1 = \lambda_1 (1,0,1)+\lambda_2 (0,0,2)+\lambda_3(0, 3, 0) \end{eqnarray}$ Natürlich könnte man das jetzt mit Gauß lösen. Hier kann man aber die Lösung sofort ablesen: $\begin{eqnarray} \lambda_1 = 1, \lambda_2 = -\frac{1}{2}, \lambda_3 = 0 \end{eqnarray}$ Wir haben also $\begin{eqnarray} e_1 = x_1 - \frac{1}{2}x_2 \end{eqnarray}$ Jetzt können wir $\begin{eqnarray} \phi(e_1) \end{eqnarray}$ bestimmen mit $\begin{eqnarray} \phi(e_1) = \phi(x_1-\frac{1}{2}x_2) = \phi(x_1)-\frac{1}{2}\phi(x_2) = y_1-\frac{1}{2}y_2 = (0, 2, 2) - \frac{1}{2}(1, 1, 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 2) \end{eqnarray}$
18.06.2013, 17:31	Martin1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi und vielen dank für die immer noch vorhandene Mühe es mir erklären zu wollen. Jetzt versteh ich endlich den Lösungsweg und verstehe auch etwas mehr was hier eigentlich gemacht wird. Nach dem Beispiel, welches du berechnet hast ist das, dass Bild von phi(e1) und die 1. Spalte der Matrixdarstellung. Alleine draufzukommen, zumindest im zweiten Schritt finde ich schon relativ mehr oder weniger schwer.
18.06.2013, 19:14	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich ist das nicht das Bild von $\begin{eqnarray} \phi(e_1) \end{eqnarray}$ , sondern das Bild von $\begin{eqnarray} e_1 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \phi(e_1) \end{eqnarray}$ . Das Bild von $\begin{eqnarray} \phi(e_1) \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \phi(\phi(e_1)) \end{eqnarray}$ . Du musst auf deine Ausdrucksweise achten.
19.06.2013, 19:52	Martin1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wollte nochmal kurz eine Frage stellen bzgl. der ersten Aufgabe in meinem ersten Post. Dort steht ja ich soll die Matrixdarstellung bzgl. X und Y aufstellen. Jetzt habe ich sie ja nur mit der linearkombination von Y aufgestellt. Muss ich das jetzt nochmal mit der Basis X machen oder verstehe ich da etwas falsch? Und was heißt eigentlich $\begin{eqnarray} M_{y,x} \left[\phi\right] \end{eqnarray}$ ? Matrix M in abhängigkeit von Y und X ?
20.06.2013, 01:00	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest dir nochmal den Vorlesungsaufschrieb angucken. Den Tafelaufschrieb hattest du ja selber mal gepostet, von daher solltest du wissen, was $\begin{eqnarray} M_{Y,X}[\phi] \end{eqnarray}$ bedeutet. Dass ist die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ , wobei im Urbildraum die Basis $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ benutzt wird und im Zielraum die Basis $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ . Das bei deiner Aufgabe Urbildraum und Zielraum derselbe sind, ist dabei unwichtig. Der Ausdruck "bezgl. X und Y" ist ziemlich vieldeutig und damit schlecht formuliert, ich nehme mal an vom Aufgabensteller. Da es im ersten Teil aber darum ging obige Matrix zu finden, nehme ich mal an es soll eigentlich heißen: "Finden Sie die Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray} M_{Y,X}[\phi] \end{eqnarray}$ der Abbildung $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ unter Basiswechsel von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ . " Dass dies hier die Einheitsmatrix ist, wurde ja schon durchexerziert.

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