Matrixdarstellung bezüglich Basen |
16.06.2013, 13:41 | Martin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Matrixdarstellung bezüglich Basen Gegeben seien die Basen und Sei gegeben durch Gebe die Matrixdarstellung von bzgl. der Basen und . Meine Fragen: Was bedeutet das L(IR^3,IR^3). Etwa eine Lineare Abbildung vom IR^3 -> IR^3 ? Und wie kann ich die Aufgabe lösen? Ich habe für die Basen explizite Vektoren gegeben. Deshalb wäre es super mir ein Tipp zu geben was ich hier zu tun habe. |
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16.06.2013, 14:16 | Nofeykx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi,
ist die Menge der (stetigen) linearen Abbildungen von in sich selbst. Das ist also nicht eine lineare Abbildung, sondern die Menge, in der alle enthalten sind. heißt also einfach, dass eine stetige lineare Abbildung von in sich selbst ist. Zur Lösung der Aufgabe: Wie habt ihr bei euch von bzgl. der Basen und definiert? (ohne dieses Wissen ist es schwierig Tipps zur Aufgabe zu geben) |
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16.06.2013, 14:27 | Martin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi und vielen dank für deine Hilfe. Hier ist das Skript mit dem jeweiligen Teil bezüglich der Aufgabe. http://www.iaa.tu-bs.de/vbach/SoSe-2013/...12/IMG00106.jpg und hier Beispiele (Welche mir jedoch nicht sehr helfen) http://www.iaa.tu-bs.de/vbach/SoSe-2013/...12/IMG00107.jpg Ich erkenne zwar das dort mit Linearkombinationen gearbeitet wird, aber viel mehr hilft mit das Skript leider nicht. |
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16.06.2013, 14:49 | Martin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Kann es sein, dass ich einfach jeden einzelnen Vektor aus X gleichsetzen muss mit der Linearkombination von den drei Vektoren von Y ? Die Lösungsmenge sind dann die neun Elemente der gesuchten Matrix ? |
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16.06.2013, 14:55 | Nofeykx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, ich versuche, dir erstmal eure Definition zu erklären: Du hast zwei Vektorräume, und mit Basen und und eine lineare Abbildung von nach . Soweit erstmal zu den Voraussetzungen. Die sollten klar sein. Nun ist es so, dass eine der Eigenschaften, die eine Basis mit sich bringt, ist, dass sich jeder Vektor des betrachteten Vektorraums auf genau eine Weise als Linearkombination der Basis schreiben lässt. Du kannst dir also ein beliebiges Element aus nehmen(wir nennen es mal und dann findest du eindeutig bestimmte Elemente aus dem Grundkörper (bei euch ) (beispielsweise ), sodass du dann schreiben kannst als Das erstmal so lange durchlesen, bist du es verstanden hast. Weiter im Text. Da jedes Element aus der Basis von natürlich in liegt, kannst du auf jedes Element der Basis von anwenden. Diese Bilder der Basiselemente liegen dann natürlich in . Jetzt erinnern wir uns an das vorige: Es lässt sich also jedes dieser Bilder der Basiselemente als Linearkombination der Basis von schreiben. Nehmen wir mal das erste Basiselement, also . Du findest nun , sodass . Diese sind nun genau die Elemente, die in der ersten Spalte der Matrix stehen, die bezüglich der betrachteten Basen beschreibt. Das gleiche Prozedere wiederholt für das 2. Basiselement von gibt dir die 2. Spalte und so weiter. Das sagt im Prinzip deine Definition. Kannst du sie damit verstehen? |
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16.06.2013, 15:52 | Martin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke, dass hilft mir wirklich sehr weiter. Mich würden trotzdem zwei Antworten bzgl. folgender Fragen interessieren. 1) Man berechnet die einzelnen Körper bzw. Elemente der ersten Spalte der Matrix mithilfe Mich würde nun interessieren, weshalb hier steht und nicht nur (x_1), den man setzt doch nur gleich mit dem Vektor (x_1) wenn ich das richtig verstanden habe bzgl. der ersten Spalte der gesuchten Matrix ? 2) Gegeben seien folgende Vektoren der Basen X und Y X={x1,x2,x3}={(1,0,1),(0,0,2),(0,3,0)} Y={y1,y2,y3}={(0,2,2),(1,1,0),(0,0,1)} Demnach bestimme ich die Elemente der Matrix wie folgt: 1. Spalte) x1=a1*y1+a2*y2+a3*y3, wobei ich das mithilfe Gauß leicht lösen kann. Die Lösungsmenge hiervon ist dann die erste Spalte der Matrixdarstellung. 2. Spalte) x2=a1*y1+a2*y2+a3*y3 3. Spalte ) x3=a1*y1+a2*y2+a3*y3 Wenn das stimmen sollte, würde mich noch interessieren, was ist, wenn ich keine eindeutige Lösung herausbekomme und z.b. a3 beliebig wählen kann. Soll ich dann die Allgemeine Lösung angeben oder eher z.b. a3=1 wählen ? Mfg Markus1 |
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16.06.2013, 16:12 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Sache ist viel einfacher. Basisvektoren von werden durch auf Basisvektoren von abgebildet, sogar in derselben Reihenfolge. Die gesuchte Matrix ist also einfach die Einheitsmatrix. Was natürlich nicht heißt, dass die Identität ist. |
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16.06.2013, 16:18 | Martin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
So einfach ist das für mich nicht. Sofern mein Post über mir nicht stimmen sollte bzgl. der einzelnen Spaltenberechnung der Matrix würde mich interessieren wo den mein Fehler liegt. mfg |
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16.06.2013, 16:32 | Nofeykx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mich würde nun interessieren, weshalb hier steht und nicht nur (x_1), den man setzt doch nur gleich mit dem Vektor (x_1) wenn ich das richtig verstanden habe bzgl. der ersten Spalte der gesuchten Matrix ? Der Rest deines Posts stimmt nicht, weil du eben nicht einfach nur nimmst, sondern wie ich bereits sagte, . Das hatte schon seine Richtigkeit. Sonst würden doch auch alle darstellenden Matritzen nur von den Basen abhängen und nicht von der Abbildung. Im Normalfall lässt sich auch garnicht durch die Basis von darstellen, weil ja im Allgemeinen garnicht in liegt. Das ist hier ein Spezialfall. |
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16.06.2013, 16:38 | Martin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke, dann denke ich das ich es verstanden habe. Mir bleibt da jedoch noch eine wichtige Wissenslücke. Was ist hier ? Also die Abbildung in der ich die Vektoren xn einsetzen muss, um überhaupt diese mit der Linearkombination von Y gleichzusetzen. Bisher hatten wir immer welche vorgegeben. Wie z.b. f(x,y,z)=(x+y,z-y,x).Ich hoffe du verstehst was ich meine. |
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16.06.2013, 16:51 | Nofeykx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Zunächst mal gehe ich nochmal auf deine vorige Frage ein:
Das kann eben nicht passieren, wegen:
Was meinst du mit:
? Es geht doch die ganze Zeit um Phi. Phi ist hier kein Mittel zum Zweck, damit du die Linearkombinationen bestimmen kannst, sondern der Kern des Ganzen. Du willst doch die darstellende Matrix von Phi bestimmen. |
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16.06.2013, 16:52 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es geht um eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen und , Dass die Vektorräume hier beidesmal der sind, tut erst mal nichts zur Sache. In diesen Vektorräumen sind Basen definiert, und . Gesucht ist die Darstellung von in den jeweiligen Basen, also in eurer Notation Jetzt konkret, Das einzige, was du über weißt, sind die Abbildungen mit Die Matrix bildet also (geschrieben in der Basis ) auf (geschrieben in der Basis ) ab. Es ergibt sich also Entsprechend für die anderen Abbildungen. Daraus ergibt sich |
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16.06.2013, 17:02 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vielleicht ist diese wiki-Seite über Basiswechsel und Matrixdarstellungen hilfreich. |
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16.06.2013, 17:09 | Martin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vielen dank für die so große Mühe. Da muss ich euch wirklich dankbar sein, dass es so eine Hilfe überhaupt gibt! So, jetzt sollte ich es aber verstanden haben. Ich war mir etwas irritiert bezüglich der vorgegebenen Abbildung, also worin ich eigentlich die einzelnen Vektoren von X einsetzen soll. Die sind ja aber bereits gegeben, denn es gilt Und mit X={x1,x2,x3}={(1,0,1),(0,0,2),(0,3,0)} Y={y1,y2,y3}={(0,2,2),(1,1,0),(0,0,1)} bestimme ich die Elemente der Matrix wie folgt: 1. Spalte) (0,2,2)=a1*y1+a2*y2+a3*y3, wobei ich das mithilfe Gauß leicht lösen kann. Die Lösungsmenge hiervon ist dann die erste Spalte der Matrixdarstellung. 2. Spalte) (1,1,0)=a4*y1+a5*y2+a6*y3 Lösungsmenge ist die 2. Spalte der Matrix 3. Spalte ) (0,0,1)=a7*y1+a8*y2+a9*y3 Lösungsmenge ist die 3. Spalte der gesuchten Matrix. Ist das richtig ? |
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16.06.2013, 17:15 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Schön, dass du dich bedankst. So was kommt leider zu selten vor. Du klebst in deiner Vorstellung anscheinend immer an der Standardbasis. Ihr sollt aber mit Basiswechsel von nach darstellen und nicht in der Standardbasis. |
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16.06.2013, 17:21 | Martin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Was meinst du den damit? Gegeben ist ja tatsächlich X={x1,x2,x3}={(1,0,1),(0,0,2),(0,3,0)} Y={y1,y2,y3}={(0,2,2),(1,1,0),(0,0,1)} . |
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16.06.2013, 17:30 | Nofeykx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich weiß auch nicht, was RavenOnJ da meinte. Eigentlich wäre dein Vorgehen richtig (und du kannst es auch so machen). Hier geht es viel einfacher, aber mach es ruhig einmal so, und schau, was rauskommt. Du wirst dann denke ich verstehen, warum das eigentlich einfacher ginge. |
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16.06.2013, 17:31 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist aber die Darstellung der Basisvektoren in der Standardbasis. Ich möchte mal deinen 1. Post zitieren:
In meiner Notation hieße das: Gebe die Matrixdarstellung von an bzgl. der Basen und |
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16.06.2013, 17:33 | Nofeykx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Raven: Eigentlich stimmt das, was er da gemacht hat. Ich glaube du hast dich wohl verguckt |
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16.06.2013, 17:35 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Nofeykx Ich habe ihn gerade zitiert und denke deshalb nicht, dass ich mich verguckt habe. Falls ihr alte Posts nicht lest, hier nochmals:
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16.06.2013, 17:37 | Nofeykx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das meinte ich auch nicht. Ich glaube, du hast dich in dem Post verguckt, in dem er sein weiteres Vorgehen erläuterte: Ein kleiner Auszug daraus:
Da möchte er darstellen als Linearkombination von und dann die zugehörigen Körperelemente in die 1. Spalte schreiben. Das ist genau, was er machen muss. |
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16.06.2013, 17:46 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es geht doch um die Originalaufgabe, oder liege ich da jetzt falsch? Und in der steht halt, dass er die Matrix in den Basen X und Y angeben soll. Dafür muss man überhaupt keine Beispiele in der Standardbasis rechnen. Was er da macht, ist nur die Berechnung von in der Standardbasis. Dass das für die Aufgabe gar nicht notwendig ist, hat er (ihr?) glaube ich gar nicht verstanden. |
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16.06.2013, 17:46 | Nofeykx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn du dich schon in einen Thread einmischst, den ich übernommen hatte, dann verwirre den Fragesteller bitte nicht. |
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16.06.2013, 17:47 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich verwirre ihn nicht, sondern habe nur etwas richtig gestellt. |
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16.06.2013, 17:48 | Nofeykx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Falls er sich diese Beispielbasis tatsächlich selbst ausgedacht hat, ist das natürlich quatsch. Ich hatte das so verstanden, dass das eine zweite Aufgabe ist. Er hätte nebenbei trotzdem die Einheitsmatrix herausbekommen. |
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16.06.2013, 17:49 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Aber nicht in der Standardbasis. |
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16.06.2013, 17:52 | Nofeykx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich weiß nicht, ob wir hier gerade aneinander vorbeireden. Was ich meine, ist dass seine Matrix so aussieht(wenn er so vorgeht, wie er es beschreibt): |
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16.06.2013, 17:53 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Nofeykx Ich habe das eben nicht so verstanden, dass das eine neue Aufgabe ist, denn er schrieb:
Das sah für mich so aus, dass er da beispielhaft etwas durchrechnen möchte und sich dafür mal zwei Basen in Standarddarstellung ausgedacht hat. |
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16.06.2013, 17:54 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Aber dafür muss man doch nicht den Umweg über die Standardbasis gehen. |
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16.06.2013, 17:55 | Nofeykx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Falls das stimmt, so ist sein Vorgehen selbstverständlich falsch, aber auch nur aus Prinzip, da ja die betrachteten Basen eben nichts an der Matrix ändern. |
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16.06.2013, 17:57 | Nofeykx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Natürlich nicht! Das finden von umständlichen Lösungen gehört aber nunmal dazu. Ich denke wenn er die Lösung raushat, wird ihm auffallen, dass das sehr umständlich war und eventuell suchen, woran es liegt, dass die Lösung so einfach war. |
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16.06.2013, 17:58 | Martin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, jetzt bin ich etwas verwirrt. Gegeben seien folgende Basen: X={x1,x2,x3}={(1,0,1),(0,0,2),(0,3,0)} Y={y1,y2,y3}={(0,2,2),(1,1,0),(0,0,1)} Die Aufgabe dazu steht im ersten Post. Die Elemente der gesuchten Matrix kann ich dann wie folgt berechnen bestimme ich die Elemente der Matrix wie folgt: 1. Spalte) (0,2,2)=a1*y1+a2*y2+a3*y3, wobei ich das mithilfe Gauß leicht lösen kann. Die Lösungsmenge hiervon ist dann die erste Spalte der Matrixdarstellung. 2. Spalte) (1,1,0)=a4*y1+a5*y2+a6*y3 Lösungsmenge ist die 2. Spalte der Matrix 3. Spalte ) (0,0,1)=a7*y1+a8*y2+a9*y3 Lösungsmenge ist die 3. Spalte der gesuchten Matrix. Ist das nun falsch ? mfg |
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16.06.2013, 18:04 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Basen ändern nichts an der Abbildung, an der Matrix aber schon. |
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16.06.2013, 18:08 | Martin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich denke ich verstehe das, aber was hat das mit meinem Lösungsvorschlag zu tun? Bitte nicht böse sein wenn ich etwas verwirrt bin, wir haben Bild, Kern, Dimension und ebend Matrizendarstellungen erst neu eingeführt. |
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16.06.2013, 18:09 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Matrixdarstellung bezüglich Basen In deinem ersten Post steht folgendes:
Das ist doch richtig, oder? Wie die Basisvektoren genau in der Standardbasis aussehen, ist dabei unerheblich und du gibst es auch nicht an. |
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16.06.2013, 18:11 | Martin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja das ist genau so richtig. So lautet die Aufgabe. Wo steckt den mein Fehler ? Was haben eigentlich die Standardbasen hiermit zutun? |
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16.06.2013, 18:13 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ist das Folgende nun eine zweite Aufgabe? Sollst du auch noch in der Standardbasis berechnen?
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16.06.2013, 18:16 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, das frage ich mich auch die ganze Zeit. Du hast Darstellungen der Basisvektoren von und in der Standardbasis reingebracht, obwohl das für die Lösung der Aufgabe aus Post Nr. 1 unerheblich wäre. |
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16.06.2013, 18:16 | Martin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die nächste Teilaufgabe 3, da müsste ich die Bilder von phi(e1),phi(e2) und phi(e3) } bestimmen und die Matrixdarstellung M(phi) von phi bzgl. der Standardbasis E3={e1,e2,e3} angeben. |
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16.06.2013, 18:19 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hast du denn verstanden, dass die Lösung der 1. Aufgabe einfach die Einheitsmatrix ist und warum das so ist? |
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