Navier Stokes Gleichung diskretisieren

16.06.2013, 15:12	JuliusSpringer	Auf diesen Beitrag antworten »
Navier Stokes Gleichung diskretisieren Hallo liebes Matheboard, die Navier-Stokes-Gleichung sei gegeben durch $\begin{eqnarray} \nabla p = -\rho \frac{\partial v}{\partial t}-\rho(v\cdot\nabla)v+\mu (\nabla\cdot\nabla)v+F \end{eqnarray}$ Dabei sollen wir die Gleichung mittels der Zentralen Differenzen diskretisieren. Man soll in einem Voxel, den Druckgradient in Abhängigkeit von unterschiedlichen Komponenten der Geschwindigkeit in unterschiedlichen Voxel ermitteln. Dabei können wir annehmen, dass die Trägheit und die Gravitation null ist. Daraus folgt: $\begin{eqnarray} \nabla p = -\rho(v\cdot\nabla)v+\mu (\nabla\cdot\nabla)v \end{eqnarray}$ Ich weiß jetzt leider nicht, wie ich $\begin{eqnarray} (v\cdot\nabla)v \end{eqnarray}$ weiter vereinfachen soll. Laut der englischen Wikipedia, handelt es sich hier bei um den "Advection" Operator: $\begin{eqnarray} \mathbf{u} \cdot \nabla = u_x \frac{\partial}{\partial x} + u_y \frac{\partial}{\partial y} + u_z \frac{\partial}{\partial z} \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} -\rho(v\cdot\nabla)v = -\rho (v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_y}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_z}{\partial z}) \end{eqnarray}$ Stimmt das soweit?
16.06.2013, 16:21	JuliusSpringer	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, nach reichlicher Überlegung, stimmt das was ich oben gepostet habe nicht ganz. Man multipliziert ja eine Summe mit einem Vektor, also wird hier kein Sklarprodukt ausgerechnet. So müsste der letzte Ausdruck wie folgt aussehen: $\begin{eqnarray} -\rho(v\cdot\nabla)v = -\rho (v_x\frac{\partial v}{\partial x}+v_y\frac{\partial v}{\partial y}+v_z\frac{\partial v}{\partial z}) \end{eqnarray}$ Als Erinnerung: $\begin{eqnarray} \nabla p = -\rho(v\cdot\nabla)v+\mu (\nabla\cdot\nabla)v \end{eqnarray}$ Eingesetzt: $\begin{eqnarray} \nabla p = -\rho (v_x\frac{\partial v}{\partial x}+v_y\frac{\partial v}{\partial y}+v_z\frac{\partial v}{\partial z})+\mu(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2},\frac{\partial^2 v}{\partial y^2},\frac{\partial^2 v}{\partial z^2})^T \end{eqnarray}$ Bin ich komplett auf dem Holzweg?
16.06.2013, 17:16	JuliusSpringer	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, der Laplace Operator ist ja auch eine Summe, also sollte es so lauten: $\begin{eqnarray} \nabla p = -\rho (v_x\frac{\partial v}{\partial x}+v_y\frac{\partial v}{\partial y}+v_z\frac{\partial v}{\partial z})+\mu(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial z^2}) \end{eqnarray}$ Das deckt sich auch mit dem englischen Wikipedia Artikel. Seht ihr das auch so?

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