Integral mit dx und dy aufspalten

16.06.2013, 17:09

Alfred K.

Integral mit dx und dy aufspalten

Darf ich das einfach so machen:

$\begin{eqnarray*} \int dx+dy=\int dx+\int dy=x+y+C \end{eqnarray*}$

Das müsste doch so funktioneren, denn wenn ich F wieder differenziere, dann erhalte ich wieder dx + dy

16.06.2013, 18:02

mYthos

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Ohne Klammern einer Summe beim Integranden schon gar nicht.
Außerdem muss festgelegt sein, nach welcher Variablen zu integrieren ist, üblicherweise nach einer bestimmten.

Oder es ist $\begin{eqnarray*} \int 1 ~ \dd x + \int 1 ~ \dd y \end{eqnarray*}$ gemeint? Dann ist jedes Integral getrennt zu betrachten.

mY+

16.06.2013, 18:08

Leopold

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Vielleicht ist auch ein Kurvenintegral $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \omega \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \omega = \dd x + \dd y \end{eqnarray*}$ gemeint. Darüber sollte Alfred K. Auskunft geben.

16.06.2013, 18:36

Alfred K.

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Also ich habe z.B. folgendes Integral

$\begin{eqnarray*} \oint (x^3-3xy^2-y^2)dx + i(x^3-3xy^2-y^2)dy+i(3x^2ydx)-3x^2ydy \end{eqnarray*}$

Darf ich da die Summen einfach aufspalten?

16.06.2013, 19:05

mYthos

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Irgendwie kann ich mit dem Ausdruck nichts anfangen, wahrscheinlich fehlen wieder Klammern.
@Leopold, weisst du, worum es sich hier handelt?

16.06.2013, 20:00

Leopold

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Es scheint sich tatsächlich um ein Kurvenintegral zu handeln. Nur fehlt die Kurve.
Die Integration ist mit der Addition verträglich, man darf das Integral also prinzipiell schon summandenweise aufspalten. Zur Berechnung benötigt man dann aber eine Parameterdarstellung der Kurve. Und da sind $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ auch in den Differentialen zu substituieren. Ausnahme: Man findet eine globale Stammfunktion, dann läßt sich das Integral über Anfangs- und Endpunkt der Kurve ermitteln.
Helfen kann man hier wohl nur, wenn man die originale Aufgabe bekommt. Sich an einer komplizierten, möglicherweise bereits fehlerhaften Rechnung zu versuchen, macht keinen Spaß.

16.06.2013, 20:01

Alfred k.

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Es handelt sich hier um komplexe holomorphe Funktionen, die ich integrieren will. Dafür muss ich sie in real und imaginärteil aufspalten und dann getrennt integrieren.

Ich habe in das Integral

$\begin{eqnarray*} \oint_\Gamma (4z^3-2z)dz=\oint_\Gamma[4(x+iy)^3 - 2(x+iy)]\; d(x+jy) \end{eqnarray*}$

berechnet

16.06.2013, 20:06

Leopold

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Dann ist es doch hier sehr einfach. Bestimme zu $\begin{eqnarray*} f(z) = 4z^3 - 2z \end{eqnarray*}$ ganz wie im Reellen eine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ . Dann ist

$\begin{eqnarray*} \int_{\Gamma} f(z) ~ \dd z = F(b) - F(a) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ Anfangs- bzw. Endpunkt von $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ sind.

Übrigens: Heißt das wirklich Groß- $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ ? Denn dieser Buchstabe ist in der komplexen Analysis in aller Regel für die Eulersche Gammafunktion reserviert.

16.06.2013, 21:06

Alfred K.

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Zitat:

Dann ist es doch hier sehr einfach. Bestimme zu $\begin{eqnarray*} f(z) = 4z^3 - 2z \end{eqnarray*}$ ganz wie im Reellen eine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ .

Aber darf ich das so einfach? Normal integrieren wie im Reelen?

16.06.2013, 22:04

Alfred K.

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Was ist eigentlich wenn ich folgendes mache:

$\begin{eqnarray*} \oint_\Gamma 4z^3dz=4\oint_\Gamma z(t)*z'(t)*dt \end{eqnarray*}$

Das müsste ja auch gehen.
Wie soll ich aber das z von t abhängig machen?

Ich schaffe es einfach nicht dieses blöde Integral zu lösen.

16.06.2013, 23:13

Alfred K

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Kann mir das bitte jemand vorführen? Ich sitze schon seit 3 Stunden wegen einem Beispiel und das ist einfach frustrierend. Ich weiß es ist einfach, aber ich habe das noch nie gemacht. Wie parametrisiere ich eine gerade Kurve. Also ich möchte das Integral:

$\begin{eqnarray*} \oint_\Gamma 4z^3dz=4\oint_0^{\xi + j\eta} z(t)*z'(t)*dt \end{eqnarray*}$

berechnen. Aber wie schummle ich das t dazu?
Ich möchte wirklich nicht bis 1 in der Früh sitzen nur wegen dieser blöden Aufgabe.

16.06.2013, 23:20

Leopold

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Integrieren ist schon im Reellen schwer und im Komplexen gibt es da zusätzliche Probleme. Aber Differenzieren geht genauso wie im Reellen. Und da du im Reellen sicherlich eine Stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} f(x) = 4x^3-2x \end{eqnarray*}$ angeben kannst, kannst du das auch im Komplexen für $\begin{eqnarray*} f(z) = 4z^3-2z \end{eqnarray*}$ . Die Richtigkeit deines Ergebnisses kannst du ja sofort durch Differenzieren überprüfen.

Und jetzt wird es Zeit, daß du endlich einmal sagst, was deine Kurve $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ (oder doch $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ?) eigentlich ist.

Im übrigen steht schon seit drei Stunden da, wie es geht:

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} \int_{\Gamma} f(z) ~ \dd z = F(b) - F(a) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ Anfangs- bzw. Endpunkt von $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ sind.

16.06.2013, 23:26

Alfred K

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Das Gamma ist meine Kurve und zwar geht sie von 0 bis zum Punkt zeta + j*eta in meiner z Ebene.

16.06.2013, 23:36

Leopold

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Dann berechne $\begin{eqnarray*} \int_{\Gamma} f(z) ~ \dd z = F(\zeta + \operatorname{i} \eta) - F(0) \end{eqnarray*}$ .

16.06.2013, 23:43

Alfred K.

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Das wäre dann

$\begin{eqnarray*} (\zeta+j*\eta)^4-(\zeta+j*\eta)^2 \end{eqnarray*}$

Aber ich habe hier gar nicht parametrisiert sondern einfach

int(4z^3-2z) = z^4 - z^2

16.06.2013, 23:52

Leopold

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Das war's. Du brauchst nicht zu parametrisieren, wenn es eine Stammfunktion gibt. Wenn du die Aufgabe (überflüssigerweise) mit einer Parametrisierung lösen wolltest, müßtest du die Kurve beschreiben, über die integriert werden soll. Ist die denn überhaupt angegeben oder kennst du nur ihren Anfangs- und Endpunkt?

17.06.2013, 00:01

Alfred K.

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Ich kenne nur ihren Anfangs und Endpunkt.

Heißt das wenn ich z.B. habe

$\begin{eqnarray*} \int(1-z)e^{-z} dz=-e^{-z}-\int(z*e^{-z})dz \end{eqnarray*}$

dann muss ich stinknormal integrieren und ins Ergebnis einfach Anfangs und ENdpunkt einsetzen?

17.06.2013, 00:07

Leopold

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Sagen wir so: Unbestimmte Integration gibt es nur im Reellen. Aber du kannst reelle Ergebnisse fürs Komplexe übernehmen, wenn du durch Differenzieren nachweisen kannst, daß die vermeintliche Stammfunktion tatsächlich eine ist.

17.06.2013, 00:11

Alfrek K

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Das heißt am sichersten wäre es über eine reele Variable.
Na gut, ich werd dann aufhörn für heute. Das ganze hat mich einwenig verwirrt
.

Danke aber für die Hilfe

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