[Entscheidung]Gleichung nach Variable auflösbar

16.06.2013, 22:00	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
[Entscheidung]Gleichung nach Variable auflösbar Hallo, ich überlege schon eine Weile über eine Aufgabe..zunächst ist die Gleichung $\begin{eqnarray} e^{\sin(xy)}+x^2 -2y-1=0 \end{eqnarray}$ gegeben. Diese hat eine Nullstelle in (0,0) in den reellen Zahlen. Lässt sich nun diese Gleichung in einer Umgebung von (0,0) nach x auflösen? Bisherige Voraussetzung: Satz über implizite Funktionen, Taylorentwicklung Analysis 1 und Teile von 2 (das Semester ist noch nicht zuende). Meine Frage: Wie/Womit lässt sich hier eine (qualitative) Aussage treffen? Meine Überlegungen Zunächst möchte ich nochmal festhalten und hoffentlich bestätigt bekommen, dass der Satz über implizite Funktionen keine Äquivalenz enthält (genau dann nach x auflösbar, wenn in einer Umgebung der Nullstelle das Differential nach x ungleich 0 ist, salopp) Wende ich die TaylorEntwicklung an, so erhalte ich: $\begin{eqnarray} T_6(e^{\sin(xy)}, (0,0) ) = \frac{1}{2}x^2y^2 + xy + 1 \end{eqnarray}$ In die Ausgangsgleichung eingesetzt ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}x^2y^2 + xy + 1+x^2 -2y-1 = x^2(\frac{1}{2}y^2+1) + x(y-2y)=0\\<br /> \Rightarrow x= \frac{2y}{y^2+2} \end{eqnarray}$ Da wir in den reellen Zahlen operieren ist hiermit x für jedes y aus IR lösbar. Das Problem ist nun: Die Taylorentwicklung ist nur eine Annäherung an die Funktion. Daher kann ich nur für die Reihe sagen, dass hier eine Gleichheit besteht. Aber die Darstellung der Reihe ist zu aufwendig um diese zu berechnen und liefert keine Umstellung nach x. Weiter lässt sich hier der Satz über die impliziten Funktionen auch nicht anwenden. Da die Ableitung nach x im Punkt (0,0) gleich 0 ist. Viele Grüße und vielen Dank schonmal, Shalec
18.06.2013, 15:26	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Heyhey, um diese Frage wieder nach oben zu treiben; Wird mein letzter "bumping-Post" sein. Hat denn niemand eine Idee oder eine Begründung, warum es genügt die Taylorentwicklung zu betrachten? Viele Grüße
02.07.2013, 15:03	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Im übrigen ist untere Betrachtung schwachsinn. Denn zwischen T_6 und f besteht keine Gleichheit. Die Reihe hätte geholfen (theoretisch) aber der Arbetisaufwand und co (n-dim gewöhnliche, möglicherweise inhomogene, dgl zu lösen ist murks bei so einer Aufgabe ^^) Von daher: Folgerung, der Satz über implizite Funktionen findet keine Anwendung. Fertig.

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