Gleichungen mit Nebenbedingung(Lagrange)

16.06.2013, 22:36	Finger10	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungen mit Nebenbedingung(Lagrange) Ich erhalte diese Gleichungen mithilfe des Lagrange-Multiplikators: $\begin{eqnarray} 4 = 2x \cdot \lambda \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z = 2y \cdot \lambda \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = 2z \cdot \lambda \end{eqnarray}$ Nebenbedingung: $\begin{eqnarray} x^2+y^2+z^2=1 \end{eqnarray}$ Wie kann ich mir hier eigentlich sicher sein, dass ich alle möglichen Lösungspaare finde? Kann man sich da überhaupt sicher sein, bzw. schon etwas über die Anzahl der möglichen Lösungspaare sagen? Wie fängt man jetzt eigentlich am besten an? Eine Lösung in einer Gleichung raten und dann schauen, ob bei den anderen wahre Aussagen bei rauskommen? Finger
16.06.2013, 23:21	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Da wird nichts geraten. Und über die Anzahl der Lösungspaare muss man diskutieren, d.h. Fallunterscheidungen bzw. Einschränkungen treffen. Es ist $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ zu eliminieren und mit den restlichen Gleichungen und der Nebenbedingung nach x, y, z aufzulösen. So geht grundsätzlich der Weg. Betrachte die ersten drei Gleichungen: x und $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ können nicht Null werden, wohl aber y oder z; daher werden diese Fälle zuerst behandelt: y = 0 --> z = 0, x = ... (2 Lösungen) Nun die anderen Fälle, wobei y und x nicht Null sind: Sieht man sich die Nebenbedingung an, so erkennt man schnell, welche Werte die Beträge der Lösungen nicht überschreiten dürfen, sollen sie im Reellen bleiben (!) Daraufhin sehen wir uns das folgende System an: 4/z = x/y z/y = y/z und die NB ... mY+

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