Polynom Vektorraum |
16.06.2013, 23:29 | MatheNoobii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Polynom Vektorraum Weiter sei [latex] U:= \[p \in P_3 | p(x) = p(1-x)\}. a) Zeigen Sie, dass U ein Unterraum von P3 ist b) Bestimmen Sie eine Basis von U c)Ergänzen Sie diese Basis zu eier Basis von P3 zu a) Unterraumaxiome sprich: U1) Nullvektor enthalten 2) Abgeschl. bzgl Addition 3) Abgeschl bzgl Multiplik Irgendwie komm ich hier nicht klar mit diesem Unterraum, wie prüfe ich hier ob der Nullvektor enthalten ist? |
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16.06.2013, 23:38 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das konstante Polynom erfüllt offensichtlich . |
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16.06.2013, 23:40 | MatheNoobii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm ok, aber wo setze ich quasi diese Null ein? Und wie funktioniert das dann mit der Abgeschlossenheit bzgl Addition? |
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16.06.2013, 23:45 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie was wo einsetzen? ist der Nullvektor von und erfüllt die charakterisierende Bedingung. Also ist . Fertig. |
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17.06.2013, 00:00 | MatheNoobii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah okay, wusste nicht, was das Zeichen bedeutet. Nun zur Abgeschlossenheit bzgl. Addition: Sei Sei und dann ist |
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17.06.2013, 00:02 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Daß ein Vektorraum ist, ist doch klar. Du sollst ja zeigen, daß ein Unterraum von ist. |
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17.06.2013, 00:08 | MatheNoobii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Irgendwie kann ich mir das mit dem Unterraum garnicht vorstellen. Also? Und x gibt den Grad des Polynoms an? |
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17.06.2013, 00:22 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na, dann nehmen wir einmal zwei Elemente , nämlich Jetzt überprüfen wir, ob gilt. Als Beispiel nehmen wir , müssen also prüfen. Das ist offensichtlich falsch. Ein Gegenbeispiel genügt. Wir folgern: . Als nächstes überprüfen wir, ob gilt. Wir nehmen wieder als Beispiel, müssen also prüfen. Und ja, das stimmt. Beide Seiten ergeben . Das könnte ein Zufall sein. Also nehmen wir und müssen überprüfen. Und wieder stimmt es, beide Seiten ergeben . Kann das noch Zufall sein? Versuche, einen allgemeinen Nachweis zu führen. Welche Symmetrieeigenschaft des Graphen wird durch die Bedingung eigentlich zum Ausdruck gebracht? |
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17.06.2013, 00:34 | MatheNoobii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah jetzt versteh ich das schon eher! Okay der Graph ist natürlich achsensymmetrisch. Und soweit ich weiß, scheiden dann schonmal alle Polynome vom Grad 3 und 1 aus, da sie nicht achsensymmetrisch sind, das heißt das funktioniert nur mit Polynomen vom Grad 2 und deren Scheitelpunkt bei x=0,5 liegt. richtig? |
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17.06.2013, 00:52 | MatheNoobii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Seien nun , dann gilt: Also ist |
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17.06.2013, 08:59 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das sieht doch schon einmal ganz gut aus. Jetzt noch die Abgeschlossenheit bezüglich der skalaren Multiplikation überprüfen.
Darüber hinaus funktioniert es auch noch mit Polynomen vom Grad 0 und dem Nullpolynom (wie wir schon sahen). Über den anschaulich-zeichnerischen Zugang ist das Problem jetzt schon fast gelöst. Ich vermute aber, daß hier eher eine formal-rechnerische Lösung gesucht ist. Wie kannst du aus der Bedingung durch Rechnung auf diese Funktionen kommen? |
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17.06.2013, 10:34 | MatheNoobii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Abgeschlossenheit bzgl skal. Multiplik: Ja klar damit funktioniert es auch. Für die rechnerische Lösung fehlt mir jetzt jegliche Idee. :/ |
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