Polynom Vektorraum

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MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom Vektorraum
Es sei P_3 der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad höchstens 3,d.h.



Weiter sei
[latex] U:= \[p \in P_3 | p(x) = p(1-x)\}.

a) Zeigen Sie, dass U ein Unterraum von P3 ist
b) Bestimmen Sie eine Basis von U
c)Ergänzen Sie diese Basis zu eier Basis von P3


zu a) Unterraumaxiome sprich:

U1) Nullvektor enthalten
2) Abgeschl. bzgl Addition
3) Abgeschl bzgl Multiplik

Irgendwie komm ich hier nicht klar mit diesem Unterraum, wie prüfe ich hier ob der Nullvektor enthalten ist?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das konstante Polynom erfüllt offensichtlich .
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Hm ok, aber wo setze ich quasi diese Null ein?
Und wie funktioniert das dann mit der Abgeschlossenheit bzgl Addition?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wie was wo einsetzen? ist der Nullvektor von und erfüllt die charakterisierende Bedingung. Also ist . Fertig.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Ah okay, wusste nicht, was das Zeichen bedeutet.

Nun zur Abgeschlossenheit bzgl. Addition:

Sei

Sei
und

dann ist
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Daß ein Vektorraum ist, ist doch klar. Du sollst ja zeigen, daß ein Unterraum von ist.
 
 
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie kann ich mir das mit dem Unterraum garnicht vorstellen.


Also?

Und x gibt den Grad des Polynoms an?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Na, dann nehmen wir einmal zwei Elemente , nämlich



Jetzt überprüfen wir, ob gilt. Als Beispiel nehmen wir , müssen also prüfen. Das ist offensichtlich falsch. Ein Gegenbeispiel genügt. Wir folgern: .

Als nächstes überprüfen wir, ob gilt. Wir nehmen wieder als Beispiel, müssen also prüfen. Und ja, das stimmt. Beide Seiten ergeben . Das könnte ein Zufall sein. Also nehmen wir und müssen überprüfen. Und wieder stimmt es, beide Seiten ergeben . Kann das noch Zufall sein? Versuche, einen allgemeinen Nachweis zu führen. Welche Symmetrieeigenschaft des Graphen wird durch die Bedingung eigentlich zum Ausdruck gebracht?
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Ah jetzt versteh ich das schon eher!

Okay der Graph ist natürlich achsensymmetrisch.

Und soweit ich weiß, scheiden dann schonmal alle Polynome vom Grad 3 und 1 aus, da sie nicht achsensymmetrisch sind, das heißt das funktioniert nur mit Polynomen vom Grad 2 und deren Scheitelpunkt bei x=0,5 liegt. richtig?
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Seien nun , dann gilt:



Also ist
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht doch schon einmal ganz gut aus. Jetzt noch die Abgeschlossenheit bezüglich der skalaren Multiplikation überprüfen.

Zitat:
Original von MatheNoobii
das heißt das funktioniert nur mit Polynomen vom Grad 2 und deren Scheitelpunkt bei x=0,5 liegt. richtig?


Darüber hinaus funktioniert es auch noch mit Polynomen vom Grad 0 und dem Nullpolynom (wie wir schon sahen).
Über den anschaulich-zeichnerischen Zugang ist das Problem jetzt schon fast gelöst. Ich vermute aber, daß hier eher eine formal-rechnerische Lösung gesucht ist. Wie kannst du aus der Bedingung durch Rechnung auf diese Funktionen kommen?
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Abgeschlossenheit bzgl skal. Multiplik:



Ja klar damit funktioniert es auch.

Für die rechnerische Lösung fehlt mir jetzt jegliche Idee. :/
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