Populationsmodell Volterra

17.06.2013, 11:14	Littlemina	Auf diesen Beitrag antworten »
Populationsmodell Volterra Hallöchen! Ich sitze gerade an der Ausarbeitung einer Präsentation zum Populationsmodell von Volterra. Hier geht es allerdings nicht um die Räuber-Beute Beziehung, sondern um eine Population, dessen Sterberate sich aus Konkurrenzkampf und Vergiftung zusammensetz. Ich weiß ja im Prinzip, wie solche DGLs "entstehen", aber ich habe eben bei der Vergiftung ein kleines Problem... Erstmal folgendes... Die DGL lautet: $\begin{eqnarray} P'(t)=g\cdot P(t)-k\cdot (P(t))^2-v\cdot P(t)\cdot \int_{t_0}^{t} P(x) dx \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} P(t) \end{eqnarray}$ die Population zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ist, $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ der Geburtenkoeffizient, $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ der Konkurrenzkoeffizient und $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ der Vergiftungskoeffizient. So...ich verstehe schon, wie es zu den Ausdrücken $\begin{eqnarray} g\cdot P(t) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k\cdot (P(t))^2 \end{eqnarray}$ kommt...was mir aber immer noch Fragen bereitet ist der Ausdruck der Vergiftung, also $\begin{eqnarray} v\cdot P(t)\cdot \int_{t_0}^{t} P(x)dx \end{eqnarray}$ . Ich hab mir da schon einige Gedanken drüber gemacht...Mein Problem ist vor allem das Integral... Meine Überlegung: Die Vergiftungsrate hängt ja von der Population ab...Je mehr Individuen da sind, desto mehr vergiften... Also: $\begin{eqnarray} V'(t)=a\cdot P(t) \end{eqnarray}$ . Da wir für unsere DGL aber $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ benötigen, müssen wir die Stammfunktion finden, also $\begin{eqnarray} V(t_0,t)=a\cdot \int_{t_0}^{t} P(x) dx \end{eqnarray}$ . Dies in die DGL eingesetzt ergibt dann folgendes: $\begin{eqnarray} P'(t)=g\cdot P(t)-k\cdot (P(t))^2-c\cdot a\cdot P(t) \cdot \int_{t_0}^{t} P(x) dx \end{eqnarray}$ und wenn wir jetzt sagen $\begin{eqnarray} c\cdot a = v \end{eqnarray}$ ergibt das unsere Ausgangs-DGL. Aber irgendwie habe ich schon selbst das Gefühl, dass das nicht hinhauen kann... Ich hab hier halt nen Text vorliegen, der das zwar benutzt, aber nicht ausdrücklich erklärt...Ich aber kenne meinen Prof und der hinterfragt wirklich ALLES... Hat da vielleicht jemand ne Idee, woher das Integral sonst herkommen könnte? Danke schonmal

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