Anreiz zum weiterrechnen?

17.06.2013, 11:22

Sopfal91

Anreiz zum weiterrechnen?

Meine Frage:
Hallo Comunity!
Ich soll die lokalen Extrema einer Funktion bestimmen. Die Vorgehensweise wäre ja erstens die Ableitung der Funktion zu bestimmen, dann die Nullstellen zu berechnen ( wann ist f´(x)=0) und diesen Wert dann in f´´(x) eizusetzen. Wenn der Wert größer als 0 ist dann hab ich ein Minimum und kleiner ein Maximum. Soweit so gut.
Jedoch hab ich jetzt 2 Fragen

1.) Ich habe $\begin{eqnarray*} f(x)= x^3+y^3+3xy \end{eqnarray*}$ gegeben dann ist $\begin{eqnarray*} f`(x)= 3x^2+3y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f``(x)= 6x \end{eqnarray*}$ dann ist bei der Ersten Ableitung $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{-y} \end{eqnarray*}$ . Ist das dann gleichbedeutend wie x=i ?

2.) Woher weiß ich denn das wenn die erste Ableitung gleich null ist ob es sich auf dem Punkt um ein Extremum handelt?Es kann ja auch ein Terrassenpiunkt sein..oder?

Meine Ideen:
Also bei der ersten Frage vermute ich stark das es mit den komplexen Zahlen weitergeht jedoch weiß ich nicht so recht wie. Einfach einsetzen oder wie?

17.06.2013, 11:35

alterHund

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damit ein Extremum vorliegt muß f" ungleich 0 sein .

Im gegebenen Beispiel gibt es für y > 0 kein Extremum

17.06.2013, 11:47

Sopfal91

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Also die Funktion sieht eigentlich so aus $\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^3+y^3+3xy \end{eqnarray*}$ und ich soll alle Extrema bestimmen und zusätzlich das Taylorpolynom 2ten Grades bestimmen Entwicklungspunkt bei (0,0)^T
Das sieht bei mir so aus $\begin{eqnarray*} T_{2,(0,0)^T} (x,y)=\begin{pmatrix} y^3+3y(x) \\ x^3+3x(y) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kann ich mit dem Polynom dann irgendnwie auf das Extremum schließen?

17.06.2013, 12:34

Sopfal91

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Hat jemand vllt eine Idee?

17.06.2013, 12:37

Theend9219

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Geduldige Dich ... nicht immer haben die Helfer hier Zeit SOFORT zu helfen.

17.06.2013, 13:23

Che Netzer

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Zitat:

Original von alterHund
damit ein Extremum vorliegt muß f" ungleich 0 sein .

Im allgemeinen nicht; man betrachte $\begin{eqnarray*} f\colon\mathbb R\to\mathbb R\,,\ x\mapsto x^4 \end{eqnarray*}$ .

17.06.2013, 18:18

Sopfal91

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Naja mir hilf das aber auch nicht unbedingt weiter. Ich finds ja toll das sich jemand bereit erklärt zu helfen aber wenn sie die Person nicht mehr meldet könnte doch jemand anderes das Ruder übernehmen?

17.06.2013, 18:26

Dopap

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Zitat:

Original von Sopfal91
Also die Funktion sieht eigentlich so aus $\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^3+y^3+3xy \end{eqnarray*}$ und ich soll alle Extrema bestimmen und zusätzlich das Taylorpolynom 2ten Grades bestimmen Entwicklungspunkt bei (0,0)^T
Das sieht bei mir so aus $\begin{eqnarray*} T_{2,(0,0)^T} (x,y)=\begin{pmatrix} y^3+3y(x) \\ x^3+3x(y) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was ist das ?
die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^2 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ liefert keinen Vektor.

Für die Extrema und die Taylorentwicklung brauchst du zuerst mal den Gradienten von f(x,y)

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y)= \binom {\frac {\partial f}{\partial x} } {\frac {\partial f}{\partial y} } \end{eqnarray*}$

und dann noch die Hesse-Matrix

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