[Zahlentheorie] Jacobi-Symbol

17.06.2013, 11:55

Nipsild

[Zahlentheorie] Jacobi-Symbol

Guten Tag,

Aufgabe:
Zeigen sie:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{10}{p} \end{pmatrix} =1 \end{eqnarray*}$ genau dann wenn P=1,3,9,13,27,31,37,39 mod 40

Meine Idee:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{10}{p} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{2}{p}* \frac{5}{p} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{2}{p}\end{pmatrix} = (-1)^{\frac{p^2 -1}{8}} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ =1 wenn p= +-1 mod 8 oder =-1 wenn p=+-3 mod 8
Also könnten wir hier eine Fallunterschreidung anbringen
Weiter müssen wir nur noch ungerade Zahlen p betrachten.

Allerdings sieht das für mich nicht sehr viel versprächen aus.
Danke

17.06.2013, 12:08

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

deine zerlegung zeigt doch:
$\begin{eqnarray*} (\frac{10}{p} )=1 \Leftrightarrow (\frac{2}{p})=(\frac{5}{p}) \end{eqnarray*}$
Wie man den ersten Term rechts ausrechnet hast du bereits geschrieben, der zweite geht auch relativ schnell und es ist alles andere als verwunderlich, dass hier mod 40 betrachtet wird.

17.06.2013, 12:42

Nipsild

Auf diesen Beitrag antworten »

leider ist mir nicht klar wie ich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{5}{p} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ berechne, das einzige was wir wissen ist das $\begin{eqnarray*} 5^{\frac{p-1}{p}} \end{eqnarray*}$ mod p ist

17.06.2013, 12:49

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kennst den zweiten Ergängungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz aber nicht das quadratische Reziprozitätsgesetz? geschockt

P.S. in deinem letzen Post ist ein Tippfehler

P.P.S Du schreibst konsequent p. Soll das eine Primzahl sein? Dein letzter spricht dafür, die Gleichheit gilt nur für das Legendre-Symbol.
Überschrift und Angabe sprechen aber eher für p beliebig, nicht notwendig prim.

17.06.2013, 13:13

Nipsild

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja das quadratische Reziprozitätsgesetz besagt a,b€ Prim und a ungleich b dann gilt
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{a}{b} \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} \frac{b}{a} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = (-1)^{\frac{(a-1)(b-1)}{4}} \end{eqnarray*}$

aber 5 ist prim also kann ich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{5}{p} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nicht als $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{a}{b} \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} \frac{b}{a} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ schreiben

oder habe ich da etwas falsch verstanden

Ps: p beliebig

17.06.2013, 13:27

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ps: p beliebig

Dann bitte n schreiben.
In der Zahlentheorie ist p für Primzahlen reserviert und das verwirrt in diesem Kontext massiv.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{a}{b} \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} \frac{b}{a} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = (-1)^{\frac{(a-1)(b-1)}{4}} \end{eqnarray*}$

Ist gleichbedeutend mit:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{a}{b} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{b}{a} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cdot (-1)^{\frac{(a-1)(b-1)}{4}} \end{eqnarray*}$

P.S. \cdot für Multiplikation in LaTeX, das Legendre/Jacobi-Symbol schreibt man so:

code:
1:	(\frac{a}{b})

das ist keine Matrix.

17.06.2013, 13:53

Nipsild

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} (\frac{5}{n}) =(\frac{5}{a})(\frac{5}{b}) ....=(\frac{a}{5}).... \end{eqnarray*}$

Nur noch zu betrachten $\begin{eqnarray*} (\frac{l}{5}) \end{eqnarray*}$ mit l=1...5 für 1,3 ergibt sich =-1 und für 2,4 =1 sowie 5 =0
Da 5*8=40 reicht es mod 40 zubrachten

jetzt lässt sich die Lösung leicht ermitteln
Danke

Neue Frage »

Antworten »

[Zahlentheorie] Jacobi-Symbol

Verwandte Themen