Automorphismen einer Kreisscheibe

17.06.2013, 18:34	Gargoyle	Auf diesen Beitrag antworten »
Automorphismen einer Kreisscheibe Es ist die Automorphismengruppe der offenen Kreisscheibe $\begin{eqnarray} U_\frac{1}{2}(0) \end{eqnarray}$ zu bestimmen. Ich denke, diese sollte irgendwie im Zusammenhang mit der Automorphismengruppe des Einheitskreises $\begin{eqnarray} \mathbb{E} \end{eqnarray}$ stehen; die Funktionen darin haben die Form $\begin{eqnarray} f(z)=e^{it}\frac{z-a}{1-\overline{a}z} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} t \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a \in \mathbb{E} \end{eqnarray}$ . Ich habe nun allerdings bereits einige Varianten davon für meine Aufgabe durchprobiert (z.B. $\begin{eqnarray} a \in U_\frac{1}{2}(0) \end{eqnarray}$ oder einen Faktor $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ in den Funktionsterm einbringen etc.), die bereits daran scheiterten, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ die genannte Kreisscheibe auf sich abbildet. Kann mir jemand helfen?
18.06.2013, 19:07	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sei $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ die Streckung mit dem Faktor $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \sigma(z) = 2z \end{eqnarray}$ . Ist nun $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ein Automorphismus der Einheitskreisscheibe, so ist $\begin{eqnarray} \psi = \sigma^{-1} \varphi \sigma \end{eqnarray}$ , in Variablen also $\begin{eqnarray} \psi(z) = \frac{1}{2} \varphi(2z) \end{eqnarray}$ , ein Automorphismus der Kreisscheibe vom Radius $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Und umgekehrt: $\begin{eqnarray} \varphi = \sigma \psi \sigma^{-1} \end{eqnarray}$ .
19.06.2013, 00:10	Gargoyle	Auf diesen Beitrag antworten »
Das klingt einleuchtend. Danke vielmals!

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