Satz von Taylor

17.06.2013, 21:30

Tukan18

Satz von Taylor

Meine Frage:
Hallo zusammen,
Ich weiß zwar wie man das Taylorpolynom aufstellt, bloß sitze ich jetzt vor einer Aufgabe in der kein konkretes x0 gegeben ist. Nur, dass x > 0 sein soll und dass die Funktion auf dem offenen Intervall (-1, oo) abgebildet wird.
Es handelt sich um die Funktion f(x) = ln(1+x) und ich soll zeigen, dass für x > 0 gilt:

betrag von (f(x)-x+(x^2/2)) kleiner/gleich x^3/3

Kann mir jemand weiterhelfen?

Meine Ideen:
Die Ableitungen habe ich schon gebildet:

f(x) = ln(1+x)
f'(x) = 1/(1+x)
f''(x) = -1/(x+1)^2
f'''(x) = 2/(x+1)^3
...

und das dann in den Satz von Taylor eingesetzt. Aber wie gesagt, weiß ich leider nicht was ich für x einsetzen soll..

17.06.2013, 21:57

Dopap

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wenn du den Entwiklungspunkt Null nimmst:

$\begin{eqnarray*} f(x)\approx x-\frac 12 x^2+\frac 13 x^3-\frac 14 x^4 + \cdots \end{eqnarray*}$

und jetzt kannst du noch

$\begin{eqnarray*} |f(x)-x+\frac 12 x^2| \leq \frac 13 x^3 \end{eqnarray*}$

versuchen nachzuweisen.

17.06.2013, 23:20

Tukan18

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Aber man nähert doch nicht irgendein f(x) an, man muss doch dann den Entwicklungspunkt 0 in die Ableitungen von f(x) = ln(x+1) einsetzen, oder habe ich das falsch verstanden?
Also ich hätte jetzt gedacht:
f(0)+(x-0)*f'(0)+((x-0)^2)/2*f''(0) ... Und dann ist daraus ja der Betrag kleiner gleich das n+1. Restglied

17.06.2013, 23:29

Dopap

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Zitat:

Original von Tukan18
Also ich hätte jetzt gedacht:
f(0)+(x-0)*f'(0)+((x-0)^2)/2*f''(0) ...

das habe ich schon für dich erledigt. Die Taylorreihe für $\begin{eqnarray*} \ln(1+x) \end{eqnarray*}$ steht.

---------------------------------------

du musst die Aufgabe auch lesen:

behauptet wird, dass $\begin{eqnarray*} |\ln(1+x)-x+\frac 12 x^2|\leq \frac 13 x^3 \qquad x>0 \end{eqnarray*}$ gilt.

und nun wird $\begin{eqnarray*} \ln(1+x) \end{eqnarray*}$ durch das Taylorpolynom ersetzt. Nachzuweisen ist jetzt im Prinzip, dass die Ungleichung für jedes Taylorpolynom ( egal welchen Grades ) gilt.

18.06.2013, 17:55

WirbelJunge

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Es soll eigentlich

$\begin{eqnarray*} |f(x)-x-\frac 12 x^2| \leq \frac 13 x^3 \end{eqnarray*}$

heißen.

Meine Frage: Bis zu wie vielter Ordnung muss ich bei solch einer Ungleichung wie diese hier die Taylorapproximation bilden und warum arbeitet man mit Taylor. Ist es besser mit Polynomfunktionen solche Ungleichung zu beweisen?. Und mich würde auch interessieren wie ich dann die Ungleichung überhaupt beweise?

PS bin nicht der Threadersteller!

19.06.2013, 04:37

Dopap

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Zitat:

Original von WirbelJunge
Es soll eigentlich

$\begin{eqnarray*} |f(x)-x-\frac 12 x^2| \leq \frac 13 x^3 \end{eqnarray*}$

heißen.

nee, im Original steht:

$\begin{eqnarray*} |f(x)-x+\frac 12 x^2| \leq \frac 13 x^3 \end{eqnarray*}$

19.06.2013, 11:34

Wirbeljunge

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Der ist sicher aus meinem selben Studiengang, weil ich dieselbe Aufgabe auch habe. Deshalb sollte das schon so richtig sein was ich meine.

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