Existenz einer Richtungsableitung zeigen

17.06.2013, 22:18

Naryxus

Existenz einer Richtungsableitung zeigen

Hallo,

wir haben letztens mit partiellen Ableitungen angefangen und ich bin noch nicht ganz drin.

Unsere Aufgabe ist Folgendes:

Sei $\begin{eqnarray*} M = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x = y \text{ und } x \neq 0 \} \end{eqnarray*}$ Und folgende Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f(x, y) = \begin{cases}<br /> e^x - 1 & \text{für} (x, y) \in M\\<br /> 0 & \text{für} (x, y) \notin M<br /> \end{cases}<br /> \end{eqnarray*}$

Nun soll gezeigt werden, dass die Richtungsableitung für $\begin{eqnarray*} d_uf(0,0) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} u = (\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}) \end{eqnarray*}$ existiert.

Ich habe das jetzt versucht über die Definition der Richtungsableitung zu machen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}{(\frac{f((0,0) + h(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})) - f(0,0)}{h})} = \lim_{h \to 0}{(\frac{f(\frac{h}{\sqrt{2}},\frac{h}{\sqrt{2}}) - f(0,0)}{h})} = \lim_{h \to 0}{(\frac{e^{\frac{h}{\sqrt{2}}} - 1}{h})} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit erstmal richtig?

Und wie geht es denn weiter?

Grüße

18.06.2013, 00:10

Dopap

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wenn Ihr mit partiellen Ableitungen angefangen habt, was liegt dann auf der Hand ?

die Richtungsableitung in einen Punkt ist der normierte Richtungsvektor mal dem Gradienten in diesem Punkt.

hast du es damit schon versucht?
-----------------------------------------------------------

andererseits ist :

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}{(\frac{f((0,0) + h{\color{red}\cdot} (\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})) - f(0,0)}{h})} = \lim_{h \to 0}{(\frac{f(\frac{h}{\sqrt{2}},\frac{h}{\sqrt{2}}) - f(0,0)}{h})} = \lim_{h \to 0}{(\frac{e^{\frac{h}{\sqrt{2}}} - 1}{h})} \end{eqnarray*}$

natürlich in Ordnung. Und der Grenzwert ist ein bekannter Grenzwert.

18.06.2013, 09:06

Naryxus

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Danke für die Antwort smile

Ja den Satz mit dem Gradienten haben wir auch später noch im Skript gegeben. Allerdings hat sich die Aufgabe für mich so angehört, als ob man mal ganz rudimentär über die Grenzwert-Definition gehen sollte.

Ähm den Grenzwert hab ich noch nie gesehen... Muss ich dann jetzt auch weiter über die Definition für Grenzwerte für Funktionen gehen und diesen so bestimmen?

Grüße

18.06.2013, 16:42

Dopap

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ja, mach das mal so. Beim Grenzwert würde die Regel von l'Hopital helfen.

Dann noch das Ganze mit Gradient versuchen.

18.06.2013, 18:37

Che Netzer

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Zitat:

Original von Dopap
die Richtungsableitung in einen Punkt ist der normierte Richtungsvektor mal dem Gradienten in diesem Punkt.

Nein! (nicht immer)

Und streng genommen dürfte man l'Hospital hier nicht benutzen, da man dafür ja den hier aufkommenden Differentialquotienten braucht.

18.06.2013, 20:35

Dopap

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schon Che, wenn dir noch was dazu einfällt. Könntest du das auch näher erläutern?

18.06.2013, 20:42

Che Netzer

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Dass sich die Richtungsableitungen nicht immer aus dem Gradienten ergeben?
Naja, diese Aufgabe hier ist schon ein Gegenbeispiel Augenzwinkern

Die Beziehung
$\begin{eqnarray*} \nabla f\cdot v=\partial_vf \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} f\colon\mathbb R^n\supset U\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v\in\mathbb S^{n-1} \end{eqnarray*}$ gilt, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist. Andernfalls kann man Richtungsableitungen im allgemeinen nicht als solche Linearkombinationen der partiellen Ableitungen erhalten.
Zu zeigen, dass diese Beziehung nicht gilt, ist übrigens ein schöner Weg, nachzuweisen, dass eine Funktion nicht differenzierbar ist.

19.06.2013, 21:47

Naryxus

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Also mit dem Differenzenqutionten hatte es eigentlich wunderbar geklappt. Aber wenn ich nun Hospital nicht anwenden kann, wie kann ich denn den Grenzwert ansonsten berechnen?

Grüße

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