Wellengleichung vereinfachen

18.06.2013, 10:36	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
Wellengleichung vereinfachen Hallo, folgendes Problem: Eine kreisrunde Trommel (R=0,25m) wird für t=0s einmal genau mittig angeregt. Dabei erhält die Trommel im Radius R1=0,01m die Geschwindigkeit v1=10m/s. Außerhalb davon hat sie keine Geschwindigkeit. Gesucht ist die Verformung der Trommelmembran zu einer bestimmten Zeit. Die longitudiale Wellenausbreitungsgeschwindigkeit ist c=1000m/s. Man soll von einem rotationssymetrischen Problem ausgehen und folgende Gleichung nutzen: $\begin{eqnarray} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left[\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r} +\frac{1}{r^2} \frac{\partial u^2}{\partial \phi^2} \right] \end{eqnarray}$ a) Vereinfachen Sie die DGL und machen Sie das Problem dimensionslos. Die Vereinfachung hat wohl mit der Rotationssymmetrie zu tun oder? Spontan hätte ich gesagt: $\begin{eqnarray} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left[\frac{1}{r^2} \frac{\partial u^2}{\partial \phi^2} \right] \end{eqnarray}$ Wieso weshalb warum kann ich aber nicht beantworten Hat mir jemand vielleicht einen Tipp?
18.06.2013, 11:47	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Da die Trommel genau mittig angeregt wird, ist die Auslenkung der Membran rotationssymmetrisch, also bei jedem Winkel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ gleich. Mathematisch bedeutet dies $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial u}{\partial \phi}=0 \end{eqnarray}$ , so dass der 3.Summand verschwindet. Man bekommts also eine Dgl., die nur von r und t abhängt $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial^2 u(r,t)}{\partial t^2}=c^2 \left (\tfrac{\partial^2 u(r,t)}{\partial r^2}+\tfrac{1}{r}\tfrac{\partial u(r,t}{\partial r}\right ) \end{eqnarray}$ Du sollst diese Gleichung dimensionslos machen. Das bedeutet, dass man den Faktor c² beseitigen soll. Dies erreicht man, indem man anstelle des Argumentes r in der Funktion u(r) ein neues Argument r'=r/c bzw. r=cr' einführt und mit diesem neuen Argument eine neue Funktion definiert $\begin{eqnarray} u(r)=u(cr')=u'(r') \end{eqnarray}$ . Mit der Kettenregel wird dann die 1.Ableitung zu $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial u(r)}{\partial r}=\tfrac{\partial u'(r')}{ \partial r'}\cdot \underbrace{\tfrac{\partial r'}{ \partial r}}_{1/c} \end{eqnarray}$ Die 2.Ableitung ergibt folglich $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial^2 u(r)}{\partial r^2}=\tfrac{\partial^2 u'(r')}{ \partial r'^2}\cdot \tfrac{1}{c^2} \end{eqnarray}$ Nach Einsetzen beider Ableitungen und des Argumentes r=cr' in die Dgl. kürzt sich der Faktor c² raus und man hat die dimensionslose Dgl. $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial^2 u'(r',t)}{\partial t^2}=\tfrac{\partial^2 u'(r',t)}{\partial r'^2}+\tfrac{1}{r'}\tfrac{\partial u'(r',t}{\partial r'} \end{eqnarray}$ Wenn man die Lösung u'(r',t) hat, muss man am Ende zurücktransformieren.
24.06.2013, 16:37	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
Super das klappt! Danke

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