Zusammenhang und Dimension des Komplements

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emmtee Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhang und Dimension des Komplements
Hallo,

Folgendes möchte ich beweisen, wobei ein echter Unterraum von sei:

Wenn , ist zusammenhängend.

Meine Idee dabei war, zwei beliebig gewählte Punkte in durch einen stetigen Weg zu verbinden. Ist , kann ich jeden stetigen Weg, den ich in finde, so umleiten, dass er nicht durch geht.

Hier mein Beweis(ansatz):

Sei und sei . Dann gibt es , so dass eine Basis von ist. Für alle gilt: gdw. es ein gibt, so dass und .
Seien nun . Sei mit . Dann gilt: , und ist stetig.

An dieser Stelle bin ich mir nun extrem unsicher. Ich würde gerne argumentieren, dass für alle . Und als Begründung dafür würde ich darauf hinweisen wollen, dass immer eine nicht verschwindende Linearkombination von "enthält". Der mittlere Summand von ist also die Umleitung, von der ich oben sprach. Geht das so?

Vielen Dank, viele Grüße
emmtee
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee über den Wegzusammenhang zu gehen ist gut. Ich würde es aber einfacher machen. Du kannst auffassen als direkte Summe von und , dem Raum senkrecht zu , nach Voraussetzung mit



Hast du zwei Punkte , dann ist deren -Komponente ungleich 0. Sei nun ein Weg gegeben, der von nach führt. Betrachte die kanonische Projektion dieses Weges auf , also In einem Vektorraum mit Dimension > 1 gibt es immer einen Weg, der nicht durch den Nullpunkt geht, wenn die Endpunkte beide nicht der Nullpunkt sind. Also hat jeder Punkt auf dem Weg eine -Komponente ungleich 0.
 
 
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das klingt, als würde jeder Weg, der und verbindet, nicht durch zu laufen...
Einen entsprechenden Weg scheinst du aber auch nur innerhalb von zu erhalten (bzw. ).

Man kann und allerdings durch Geradenstücke mit ihrer Orthogonalprojektion auf verbinden.
Das war dann auch fast der ganze Beweis.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt Wer behauptet, dass jeder Weg, der x und y verbindet, nicht durch V läuft? Für den Wegzusammenhang reicht es doch einen Weg zu finden, der nicht schneidet. Wenn die -Komponente für jeden Punkt eines Weges ungleich 0 ist, dann liegt kein Punkt dieses Weges in , da für alle Punkte gilt: (die Projektion auf habe ich in umbenannt, um Missverständnisse zu vermeiden).
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem liegt hier:
Zitat:
Original von RavenOnJ
Also hat jeder Punkt auf dem Weg eine -Komponente ungleich 0.

Jeder Punkt auf welchem Weg?
Auf dem ursprünglich, beliebig gewählten Weg ? Das geht natürlich nicht.
Auf einem Weg in , der nicht durch den Nullpunkt geht? Der verbindet aber nicht und .
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Das Problem liegt hier:
Zitat:
Original von RavenOnJ
Also hat jeder Punkt auf dem Weg eine -Komponente ungleich 0.

Jeder Punkt auf welchem Weg?
Auf dem ursprünglich, beliebig gewählten Weg ? Das geht natürlich nicht.
Auf einem Weg in , der nicht durch den Nullpunkt geht? Der verbindet aber nicht und .


verwirrt Der Weg soll nicht beliebig, sondern so gewählt werden, dass jeder Punkt des Weges eine -Komponente ungleich 0 hat. Wenn das für x und y gilt, dann kann man immer so einen Weg finden. Warum sollte so ein Weg nicht x und y verbinden?

Nehmen wir als Beispiel den mit der -Koordinatenachse als . Dann nehmen wir zwei Punkte, die nicht auf der -Achse liegen. Diese haben eine Projektion auf den -Raum ungleich 0. Nun kann man natürlich einen Weg finden, der die beiden Punkte verbindet und nicht die -Achse schneidet, da der -Raum 2-dimensional ist. Der Weg windet sich irgendwie um die -Achse herum.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Wenn das für x und y gilt, dann kann man immer so einen Weg finden.

Genau das ist aber zu zeigen Augenzwinkern
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch ziemlich trivial, wenn . Man muss nur zeigen, dass wegzusammenhängend ist.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Schon, aber bei dir fehlte die Begründung, wieso es genügt, zu zeigen, dass wegzusammenhängend ist.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Schon, aber bei dir fehlte die Begründung, wieso es genügt, zu zeigen, dass wegzusammenhängend ist.


Ich habe dies weitgehend dargelegt. Man müsste höchstens noch zeigen, dass eine stetige Abbildung in beide Komponenten des direkten Produktes eine stetige Abbildung in den Produktraum ergibt. Außerdem wäre das nicht unbedingt meine Aufgabe.

Ansonsten vielleicht einfach mal zugeben, dass du dich vergaloppiert hast.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Ich habe dies dargelegt.

Wo denn? verwirrt
Das Problem ist, dass nicht direkt klar ist, dass ein Weg in , der die Projektionen von und verbindet und nicht durch Null geht, auch ein (stetiges) Urbild in hat, welches und verbindet.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Abbildung (mit der Projektion auf ) stetig ist und die Abbildung ebenfalls, dann folgt die Stetigkeit von . Das wäre dann noch eine Aufgabe für den Fragesteller.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Außerdem bin ich die Diskussion jetzt leid, hab noch Besseres zu tun. Ich weiß auch nicht, was du mir hier eigentlich beweisen willst.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das genügt aber noch nicht.
Man benötigt, dass es überhaupt irgendeine Kurve gibt, deren Projektion auf eine stetige Kurve von der Projektion von zu der von ist und die Null nicht enthält.

Der Schritt, in dem man aus der Existenz einer solchen Kurve in die Existenz einer passenden Kurve in folgert, ist noch nicht ganz deutlich.


Edit: Und ich möchte nur darauf hinweisen, dass deine Argumentation unvollständig war bzw. ist, bevor sie so vom Fragesteller übernommen wird...
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Man benötigt, dass es überhaupt irgendeine Kurve gibt, deren Projektion auf eine stetige Kurve von der Projektion von zu der von ist und die Null nicht enthält.


Aber das ist doch offensichtlich. Schon im 2-dimensionalen Vektorraum , also erst recht in allen höherdimensionalen.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz offensichtlich ist das nicht; es müsste jedenfalls noch gezeigt werden.
(ich hatte natürlich noch vergessen zu erwähnen, dass diese Kurve die Punkte und vebinden soll)
emmtee Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank Euch beiden für Eure Antworten! Das hat mir sehr geholfen! Freude
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Ganz offensichtlich ist das nicht; es müsste jedenfalls noch gezeigt werden.
(ich hatte natürlich noch vergessen zu erwähnen, dass diese Kurve die Punkte und vebinden soll)


Also ich finde das absolut offensichtlich und nicht für notwendig, auch noch zu beweisen. Da reicht schon die Anschauung.

Man kann das natürlich auch formalisieren, beispielsweise eine direkte Verbindung betrachten. Schneidet diese Strecke den Nullpunkt, dann konstruiert man eine kreisförmige Umgehung, sodass der Weg weiterhin stetig bleibt..
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von emmtee
Vielen Dank Euch beiden für Eure Antworten! Das hat mir sehr geholfen! Freude


Bitte sehr, auch wenn die Antworten zu 95% von mir stammten. Augenzwinkern Der Rest war eigentlich nur unnötige Diskussion.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Dass man in für je zwei von Null verschiedene Kurve einen verbindenden Weg findet, der nicht durch Null geht, ist nicht das Problem, da gebe ich dir recht.
Es gibt allerdings keine Inverse , mit welcher man daraus eine Kurve von nach in erhält.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Dass man in für je zwei von Null verschiedene Kurve einen verbindenden Weg findet, der nicht durch Null geht, ist nicht das Problem, da gebe ich dir recht.
Es gibt allerdings keine Inverse , mit welcher man daraus eine Kurve von nach in erhält.


verwirrt Und? Was willst du jetzt damit sagen? Werd mal ein bisschen ausführlicher. Natürlich gibt es keine Inverse von . Aber in Verbindung mit kann man einen stetigen Weg von nach in konstruieren.

Edit: Außerdem meinst du wohl "für je zwei von Null verschiedenen Punkte"
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich zitiere mal wikipedia (Produkttopologie): Der Produktraum zusammen mit den kanonischen Projektionen wird durch die folgende universelle Eigenschaft charakterisiert: Ist ein topologischer Raum und für jedes ist stetig, dann gibt es genau eine stetige Funktion , so dass für alle gilt.

Edit: Weitere Links:
http://geom.mi.fu-berlin.de/res/teaching/ss10/topologie1/skript/faszikel_1.pdf S. 12 (S. 16 im pdf) Korollar I.4.11

http://www.math.uni-konstanz.de/~schnuere/skripte/topo.pdf S. 13 ff
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast aber keine stetigen Abbildung in beide Räume .
Außerdem würde ich nicht davon ausgehen, dass dieser Satz in der entsprechenden Vorlesung bewiesen wurde. Zumal man hier die Produkttopologie erst noch wiederfinden muss.

Und sehr viel ausführlicher kann ich nicht werden...
Wir haben .
Du hast geschrieben:
Es gibt eine stetige Kurve in und verbindet, ohne den Nullpunkt zu enthalten.
Das ist auch nicht das Problem.
Wir benötigen aber:
Es gibt eine stetige Kurve in , welche und verbindet, ohne zu schneiden.

Der Schritt, in dem die zweite Aussage aus der ersten gefolgert wurde, fehlt ganz einfach.
Das ist ausführlich genug; der Beweis müsste nun ausführlicher gestaltet werden.


PS: Ach ja, ich glaube, ich habe einige male für den gesamten Vektorraum geschrieben. Jetzt sollte aber unmissverständlich klar sein, wo ich das Problem sehe.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich hat man die zwei stetigen Abbildungen in und in , nämlich und . Erstere habe ich schon erläutert. Die zweite kann stetig aber ansonsten beliebig gewählt werden unter den genannten Randbedingungen. Es ist mit den Projektionen und

Zitat:

Wir benötigen aber:
Es gibt eine stetige Kurve in , welche und verbindet, ohne zu schneiden.


Weiter oben hatte ich schon erläutert, dass ein Punkt genau dann auch , wenn , wenn er also 0 als -Komponente hat. Es reicht also vollkommen zu zeigen, dass man eine stetige Kurve konstruieren kann. Dass man das immer kann, wenn habe ich hinreichend erläutert.

Die Existenz einer stetigen Kurve in von nach , die niemals schneidet, die also vollständig in liegt, folgt nun aus dem zitierten Satz (Lemma, Korollar, wie's einem beliebt) über stetige Abbildungen aus einem topologischen Raum (hier ) in einen topologischen Produktraum (hier ).
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
[...] kann stetig aber ansonsten beliebig gewählt werden unter den genannten Randbedingungen.

Genau das fehlte.

Nun braucht man auch keine topologischen Produkträume mehr, sondern bildet einfach .
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Zitat:
Original von RavenOnJ
[...] kann stetig aber ansonsten beliebig gewählt werden unter den genannten Randbedingungen.

Genau das fehlte.


verwirrt Sorry, Che, das ist aber echt trivial, deswegen hatte ich das vorher nie erwähnt.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer

Nun braucht man auch keine topologischen Produkträume mehr, sondern bildet einfach .


Aber eigentlich steckt ein topologischer Produktraum dahinter, auch wenn der allgemeiner ist als eine direkte Summe. Man kann durchaus einen Satz eine allgemeine Struktur betreffend für ein spezielles Objekt verwenden, soweit es auch von dieser Struktur ist.
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