Wegzusammenhang von R\Q

18.06.2013, 14:53	PeterpanImKeterwahn	Auf diesen Beitrag antworten »
Wegzusammenhang von R\Q Hallo, ich komm hierbei nicht weiter obwohl es nur eine Tutoriumsaufgabe ist: Ein Topologischer Raum T heißt wegzusammenhängend, wenn es zu zwei verschiedenen Punkten x,y in T eine Funktion von f:[0,1] -> T gibt mit f stetig, und f(0) = x und f(1) = y Aufgabe: Zeige dass R²/Q² wegzusammenhängend Dabei trägt [0;1] die Teilraumtopologie
18.06.2013, 15:01	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wegzusammenhang von R\Q Hast du denn auch irgendwelche eigenen Ideen?
18.06.2013, 15:03	PeterpanImKeterwahn	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich nciht, ich denk mir nämlich dass es keine stetige Funktion nach R²\Q² gibt, da ja jede offene Umgebung auch rationale Zahlen enthalten müsste?
18.06.2013, 15:10	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon, aber trotzdem kann in $\begin{eqnarray} R^2\setminus\mathbb Q^2 \end{eqnarray}$ ein (nichtkonstanter) stetiger Weg verlaufen. In $\begin{eqnarray} \mathbb R\setminus\mathbb Q \end{eqnarray}$ geht das nicht; vielleicht verwirrt dich das.
18.06.2013, 15:24	PeterpanImKeterwahn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ich muss sagen, dass ich mir dass nicht ganz vorstellen oder selbst erschließen kann. Hättest du da vielleicht erstmal einen kleineren Tipp?
18.06.2013, 15:31	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Stell dir $\begin{eqnarray} \mathbb R^2\setminus\mathbb Z^2 \end{eqnarray}$ vor. Mit den rationalen Zahlen ist der Beweis im wesentlichen derselbe.
Anzeige

18.06.2013, 15:40	PeterpanImKeterwahn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, wenn ich das für R²\Z², würde mir ein technisches Detail fehlen, undzwar, wie ich so einen Weg konstruktiv angebe, im großen und ganzen seh ich allerdings schonmal intuitiv sicherlich wie das geht. Wie geb ich denn eine solche Funktion an?
18.06.2013, 16:36	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wähle einen Weg, der stückweise entlang der Koordinatenachsen verläuft.
24.06.2013, 12:14	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Edit: Ziehe meinen Einwurf zurück. Hat sich erledigt. Es müssen ja beide Komponenten rational sein, damit der Punkt zu $\begin{eqnarray} \mathbb Q^2 \end{eqnarray}$ gehört.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »