Symmetrische Differenz

18.06.2013, 13:08	deserto12	Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrische Differenz Aufgabe: Für zwei Mengen A,B heiße $\begin{eqnarray} A \Delta B := (A \cup B) \backslash (A \cap B) \end{eqnarray}$ die symmetrische Differenz von A und B. Zeigen Sie (durch Zurückführen auf die Definitionen von $\begin{eqnarray} A \cup B \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} A \cap B \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A \backslash B \end{eqnarray}$ ), dass für beliebige Mengen A, B gilt : $\begin{eqnarray} \emptyset \Delta A = A \end{eqnarray}$ Mein Ansatz: zwei Mengen A,B sind gleich, wenn $\begin{eqnarray} A \subset B \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \subset A \end{eqnarray}$ ist. Sei nun $\begin{eqnarray} x \in \emptyset \Delta A \end{eqnarray}$ . Dann folgt aufgrund der Definition, dass $\begin{eqnarray} x \in (\emptyset \cup A) \backslash (\emptyset \cap A) \end{eqnarray}$ . Aufgrund der Definition der Differenz von zwei Mengen liegt x in $\begin{eqnarray} \emptyset \cup A \end{eqnarray}$ . Aufgrund der Definition der Vereinigung liegt (1.Fall) $\begin{eqnarray} x \in \emptyset \end{eqnarray}$ oder (2.Fall) $\begin{eqnarray} x \in A \end{eqnarray}$ . 1. Fall aufgrund der obigen Differenz liegt x nicht in $\begin{eqnarray} (\emptyset \cap A) \end{eqnarray}$ also liegt x nicht in A oder nicht in der leeren Menge. da x im ersten Fall in der leeren Menge liegt, kann die Aussage dass x nicht in der leeren Menge liegt nicht gleichzeitig stimmen, also ist x nicht in A. wenn x in der leeren Menge liegt, dann auch in A, da die leere Menge Teilmenge jeder Menge ist. (??`ist das nicht ein Widerspruch zu der Aussage das x nicht in A liegt ??) 2. Fall: Wenn x in A liegt ist schon alles klar. wie die Rückrichtung geht ist mir nicht so klar... Ich würde mich auch über Kommentare zu meinem bisherigen Beweis freuen ( Formulierung, Ausdruck, Schlüssigkeit usw.) mfg
18.06.2013, 18:21	Alaster	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, es gilt $\begin{eqnarray} \emptyset \cup A = A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \emptyset \cap A = \emptyset \end{eqnarray}$ . Warum betrachtest du dann noch die Elemente? PS: $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ kann aufgrund der Definition der leeren Menge nicht in dieser liegen. Daher verstehe ich den Sinn deines ersten Falls nicht bzw. ist er überflüssig.
18.06.2013, 18:38	deserto12	Auf diesen Beitrag antworten »
okay vielen dank an diese beiden Gleichheiten hatte ich gar nicht gedacht

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