Probleme bei Laplace-/Fourier-Transformation

18.06.2013, 16:00	Monkey101	Auf diesen Beitrag antworten »
Probleme bei Laplace-/Fourier-Transformation Hallo Leute. Ich bins mal wieder. Wir haben mal wieder ne Mathehausarbeit bekommen und leider hab ich dabei mal wieder Probleme. Ich hoffe mir kann auch dieses mal jemand weiterhelfen Aufgabe 1: Laplace und Inverse Laplace Transformation von: $\begin{eqnarray} Y'(t) + 5Y(t) = 4 sin(3t) \end{eqnarray}$ mit Y(0)=1 Mithilfe einer Korrespondenztabelle komme ich auf folgende Laplace-Form: $\begin{eqnarray} s \cdot F(s)-1+5\cdot F(s)=\frac{12}{s^{2}+9} \end{eqnarray}$ Das umgeformt nach F(s): $\begin{eqnarray} F(s)=\frac{12}{(s^{2}+9)(s+5)}+\frac{1}{(s+5)} \end{eqnarray}$ Den 2. Bruch krieg ich mithilfe der Tabelle auf $\begin{eqnarray} e^{-5t} \end{eqnarray}$ umgeformt. Jetzt dachte ich mir eventuell mit Partialbruchzerlegung was machen zu können stoße da aber auf folgendes Problem: $\begin{eqnarray} F(s)=\frac{12}{(s^{2}+9)(s+5)}+\frac{1}{(s+5)}= \frac{12+(s^{2}+9)}{(s^{2}+9)(s+5)} \end{eqnarray}$ Es folgt 1 Nullstelle bei s=-5 und 2 komplexe Nullstellen. So kann ich die Zerlegung ja leider nicht weiter machen oder? (Ist schon was länger her seit ich die das letzte mal machen musste...) Die nächsten beiden Aufgaben sind zur Fourier-Transformation. Zu einer hab ich bereits eine korrekte Lösung kann den Lösungsweg aber nicht genau nachvollziehen und bei der zweiten gibts nen ähnliches Problem. Generell hab ich mit der Fourier-Transformation etwas Probleme da wir nur eine einzige Vorlesung zu diesem Thema hatten und dabei leider nicht viel bei rum gekommen ist... Aufgabe 2: Gegeben ist die folgende Zeitfunktion: $\begin{eqnarray} f(t)=\begin{cases}<br /> e^{\frac{t}{\tau}}, & t\geq 0\\<br /> 0, & \text{sonst }<br /> \end{cases} \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie die Fourier transformierte $\begin{eqnarray} F(\omega) \end{eqnarray}$ und das Betragsspektrum $\begin{eqnarray} \left\|F(\omega)\right\| \end{eqnarray}$ . Damit bin ich dann wie folgt vorgegangen: $\begin{eqnarray} F(\omega)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(t) e^{-j\omega t}dt=\int\limits_{0}^\infty e^{\frac{t}{\tau}} e^{-j\omega t}dt= \int\limits_{0}^\infty e^{(\frac{t}{\tau}-j \omega )t}dt \end{eqnarray}$ So und jetzt weiß ich nicht genau weiter...wenn ich integriere käme, nach meiner Rechnung, folgende Stammfunktion dabei rum: $\begin{eqnarray} \frac{\tau}{1-j \omega \tau}\cdot e^{(\frac{t}{\tau}-j \omega )t} \end{eqnarray}$ So wie ich das bis jetzt immer mitbekommen habe ist die e-Funktion später nicht mehr da...aber wieso fällt sie weg? Desweiteren soll laut meiner Dozentin sowas rauskommen: $\begin{eqnarray} \frac{\tau}{1+j \omega \tau} \end{eqnarray}$ (Wieso steht ein "+" im Nenner?) Und für das Betragsspektrum folgendes: $\begin{eqnarray} \frac{\tau}{\sqrt{1+( \omega \tau)^{2}}} \end{eqnarray}$ Da weiß ich noch garnicht was ich genau machen muss um darauf zu kommen... Aufgabe 3: Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray} f(t)=e^{-a \left \| t \right \|} \end{eqnarray}$ mit a element aus R . Berechnen Sie die Fouriertransformierte $\begin{eqnarray} F(\omega) \end{eqnarray}$ . Ich weiß aus der Korrespondenztabelle meiner Formelsammlung das folgendes dabei rum kommt: $\begin{eqnarray} \frac{2a}{a^{2}+ \omega ^{2}} \end{eqnarray}$ Das muss sich ja irgendwie so zusammensetzen: $\begin{eqnarray} F(\omega)=\int\limits_{-\infty}^0 e^{at} e^{-j\omega t}+\int\limits_{0}^\infty e^{-at} e^{-j\omega t}dt = \frac{1}{a-j \omega}+ \frac{1}{a+j \omega} \end{eqnarray}$ Jetzt meine Frage hierzu...warum ist im ersten Integral das "-" nicht vor dem a? Ich bin wie immer dankbar für jede Hilfe, bedanke mich schonmal vorab und verbleibe, mit freundlichen Grüßen, Monkey101
18.06.2013, 17:00	schultz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Probleme bei Laplace-/Fourier-Transformation also fangen wir mit der laplacetransformation an. Den zweiten summanden kannst du ja einfach so zurücktransformieren, lassen wir den also außen vor. der erste summand lässt sich umformen zu $\begin{eqnarray} \frac{12}{(s^{2}+9)(s+5)}=\frac{A}{s^2+3^2}+\frac{B}{s+5} \end{eqnarray}$ . A und B mit Koeffizientenvergleich bestimmen und dann solltest du eine rücktransformation in einer tabelle finden. Zur ersten Fouriertransformation: Ich habe auch ein minus stehen. Die e-Funktion verschwindet, weil du deine Grenzen noch einsetzen musst. Das mit der Wurzel im nenner kommt daher, dass da der betrag einer komplexen zahl gebildet wurde (weißt du wie das geht?) Zur letzten: das minus vor dem a fällt weg, da \|t\|=-t für t<0
18.06.2013, 18:18	Monkey101	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo schultz. Erstmal vielen Dank für die Antwort . Bei dem Koeffizientenvergleich hab ich noch Probleme. Ich hab das noch so im Kopf: $\begin{eqnarray} \frac{12}{(s^{2}+9)(s+5)}=\frac{A}{s^{2}+9}+\frac{B}{s+5} \rightarrow A(s+5)+B(s^{2}+9)=\frac{12}{(s^{2}+9)(s+5)} \rightarrow As+A5+s^{2}B+9B=12 \end{eqnarray}$ So bei den DGLs hätte ich jetzt s²,s,s^0 verglichen...hier kommt da ja nur Blödsinn raus...man setzt ja auch keine Ableitungen etc rein, sodass was gescheites rauskommen könnte. Muss ich jetzt Nullstellen (auch die komplexen) einsetzen oder wie geh ich vor? Das mit dem Minus is so ja logisch Und zum Wegfallen der e-Funktion. Wenn ich hier jetzt die Grenzen einsetze....käme dann nicht sowas dabei rum? $\begin{eqnarray} [\frac{\tau}{1-j \omega \tau} \cdot e^{(\frac{t}{\tau-j \omega})t}]^\infty_0 \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} t=\infty \end{eqnarray}$ wird die e-Funktion auch $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ und damit der ganze Ausdruck und für die 0 wird die e-Funktion 1 und es bleibt stehen $\begin{eqnarray} \frac{\tau}{1-j \omega \tau} \end{eqnarray}$ Und $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ minus das bleibt $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ oder? Irgendwas muss ich da noch falsch machen Danke wieder vorab, mfg Monkey101
19.06.2013, 14:07	Monkey101	Auf diesen Beitrag antworten »
So ich hab mich weiter dran gesetzt. Das mit dem Betragsspektrum hab ich jetzt auch so raus. Bei dem Koeffizientenvergleich hab ich leider keine Fortschritte gemacht...ich kann mir denken auf welche Formen der Korrespondenztabelle das rauslaufen soll aber ich weiß nit wie ich den Vergleich machen sollte. Ich hatte das nur so gelernt: $\begin{eqnarray} \frac{12}{(s^{2}+9)(s+5)}=\frac{A}{s^{2}+9}+\frac{B}{s+5} \rightarrow \frac{A(s+5)+B(s^{2}+9)}{(s^{2}+9)(s+5)}=\frac{12}{(s^{2}+9)(s+5)} \rightarrow As+A5+s^{2}B+9B=12 \end{eqnarray}$ Dann werden die verschiedenen Potenzen von "s" miteinander verglichen: $\begin{eqnarray} <br /> s^{2}: B=0<br /> s^{1}: A=0<br /> s^{0}: 5A+9B=12<br /> \end{eqnarray}$ Jetzt hatte ich überlegt eventl nen s auszuklammern in etwa so: $\begin{eqnarray} s(Bs+A)+5A+9B=12 \end{eqnarray}$ Und dann zu vergleichen aber auch da komm ich auf keinen grünen Zweig... Der Ansatz der nachher dabei rum kommen sollte is für den A-Term wahrscheinlich $\begin{eqnarray} \frac{1}{s^{2}+a^{2}} \text oder \frac{s}{s^{2}-a^{2}} \end{eqnarray}$ und für den B-Term der bereits verwendete nehme ich an oder? Den Teil mit der e-Funktion hab ich jetzt glaub ich auch verstanden...musste dafür das "t" wieder in die Klammer holen...dachte vorher: $\begin{eqnarray} \frac{\tau}{1-j \omega \tau}\cdot e^{(\frac{1}{\tau}-j \omega )\infty} \rightarrow \frac{\tau}{1-j \omega \tau}\cdot \infty \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ Aber mit dem "t" wieder in der Klammer ergibt sich ja: $\begin{eqnarray} \frac{\tau}{1-j \omega \tau}\cdot e^{(\frac{\infty}{\tau}-j \omega \infty)} \rightarrow \frac{\tau}{1-j \omega \tau}\cdot e^{\infty - \infty} \rightarrow \frac{\tau}{1-j \omega \tau}\cdot e^{0} \rightarrow \frac{\tau}{1-j \omega \tau} \end{eqnarray}$ Un mit t=0 siehts ja genauso aus... Falls da noch was falsch sein sollte bitte sagen... Ich wäre auch dankbar wenn mir beim Koeffizientenvergleich noch jemand kurz weiterhelfen könnte mfg Monkey101
20.06.2013, 15:58	Monkey101	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Ich bins nochmal (führe aber wohl eh selbstgespräche^^). Ich glaube ich hab auch den Koeffizientenvergleich gelöst. Habe folgende Gleichung am Ende raus: Mit $\begin{eqnarray} A=\frac{6}{17}, B=\frac{-6}{17}, C=\frac{30}{17} \end{eqnarray}$ . Ergibt sich: $\begin{eqnarray} Y(s)=\frac{\frac{6}{17}}{s+5}+\frac{-\frac{6}{17}s+\frac{30}{17}}{s^{2}+9}+\frac{1}{s+5} \end{eqnarray}$ Welches ich so zurück in den Zeitbereich bekomme: $\begin{eqnarray} Y(t)=\frac{6}{17}\cdot e^{-5t}+e^{-5t}-\frac{6}{17}\cdot \cos (3t)+\frac{30}{17} \cdot \frac{\sin(3t)}{3} \end{eqnarray}$ Dürfte doch so stimmen oder? mfg Monkey101
22.06.2013, 15:15	schultz	Auf diesen Beitrag antworten »
sollte so stimmen, obwohl ich grad nicht sehe woher du das C hast bzw wie du auf das ergebniss gekommen bist^^
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »