Quadratisches Taylorpolynom mit zwei Variablen

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Sahrah Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratisches Taylorpolynom mit zwei Variablen
Meine Frage:
Hallo,
meine Aufgabe lautet:
Bestimmen Sie das quadratische Taylorpolynom der Funktion im Punkt (1,1)

Meine Ideen:
Also erst mal zur Vorgehensweise:
"Quadratisches Taylorpolynom" bedeutet, dass ich nur bis zur 2. Ableitung gehe, richtig?
Und "im Punkt (1,1)" bedeutet, dass ich einfach am Ende für x und y 1 einsetzen muss..?

Okay, dann jetzt zum Problem:
Wie stelle ich die Taylorreihe auf? Ich verstehe die "Formel" leider nicht.

Ich habe schon abgeleitet:


Doch wie mache in nun weiter..?
Würde mich über Tipps freuen Big Laugh
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratisches Taylorpolynom mit zwei Variablen
Zitat:
Original von Sahrah
"Quadratisches Taylorpolynom" bedeutet, dass ich nur bis zur 2. Ableitung gehe, richtig?

Korrekt.
Zitat:
Original von Sahrah
Und "im Punkt (1,1)" bedeutet, dass ich einfach am Ende für x und y 1 einsetzen muss..?

Kann man so nicht stehen lassen.... man setzt es nicht für beliebiges (x,y) ein (sonst bleibt auch kein Polynom übrig), sondern man entwickelt um einen Punkt, den man oft mit (x_0,y_0) oder ähnlich bezeichnet, was hier dann der Punkt (1,1) sein soll. Das ist im Polynom immer in f bzw. in die Ableitungen von f.
Zitat:
Original von Sahrah
Wie stelle ich die Taylorreihe auf? Ich verstehe die "Formel" leider nicht.

Im Wesentlichen musst du nur noch einsetzen; dazu musst du dir evtl. noch mal über die Bezeichnungen, die in der Formel vorkommen, Gedanken machen.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »



das ist als Zeile geschrieben, d.h. Zeile = Vektor. und sind Vektoren.

also:

es gibt aber noch die Schreibfigur, die ohne Vektoren und Matrzen auskommt.
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

ich häng dir mal was zur Überprüfung an, hatte da mal nen Sage-Math Algorithmus geschrieben, der sicherlich nicht optimiert ist, funktioniert aber sehr schön.

Habe dort auch eine Beispielaufgabe durchgerechnet. Kerrekturen sind gerne gesehen :-D

Der Algorithmus basiert auf Taylor-Formel - Wikipedia - Mehre Dimensionen

Der Multiindex ist etwas gewöhnungsbedürftig, aber sehr funktionell.

Dopap hatte den GradientenVektor eingeführt, aber dieser ist hier die Jacobi-Matrix.

magic_hero hatte dich bereits richtig korrigiert.

Im Punkt a=(1,1) bedeutet, dass du den Punkt (1,1) für (x,y) in deine Differentiale einsetzt, bevor du mit (Dach(x) - a) wobei Dach(x)=(x,y)
(salopp und nicht richtig, aber Verständnisvoll geschrieben, Dach(x) kann nämlich nich (x,y) sein, sollte eher andere Namen tragen, da du (x,y) vorher in deine Funktion eingesetzt hattest zum differenzieren, hier lasse ich dies bei x,y um die Verständlichkeit zu fördern)

am Ende hast du dann etwas derartiges stehen:
Skalar * ( Dach(x) - (1,1) )

und bildest darüber die Summe bis zum n=2; d.h. 3 Summanden.
Bedenke den Satz von Schwarz Augenzwinkern (mal nachlesen) der sagt dir dann, dass du auch d/(dxdy) als d/(dydx) auffassen darfst, wodurch einige Differentiale "leichter" werden.

Ich wünsche dir viel Erfolg. Btw. Sage-Math auf standalone.sagenb.org ist kostenfrei und benötigt kein MAC mit installiertem Sage.
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss mich korrigieren, der gradientenvektor ist hier gleich der jacobimatrix.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

wenn es mal schnell und ohne Vektoren gehen soll:



das Argument (1,1) fehlt jeweils bei den Ableitungen.
 
 
Sahrah Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen lieben Dank für alle die Antworten!
Ich glaube, ich krieg's jetzt hin - poste dann meine Lösung später mal hier rein.
Nur ein Problem habe ich: Die zweiten Ableitungen und müssten doch laut dem Lemma von Schwarz eigentlich identisch sein - sind sie aber nicht... und auch in der Formel wird das vorausgesetzt, weil da "...2* ..." steht. Kann ich das einfach ignorieren oder habe ich irgendwas falsch gerechnet?
Sahrah Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe es jetzt berechnet - es war letzten Endes egal, dass die zweiten Ableitungen ungleich waren, da nach dem Einsetzen bei beiden Null rauskam.
Trotzdem bin ich mir diesbezüglich noch nicht sicher, ob das so sein kann, dass die ungleich sind...

Mein Ergebnis ist:
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratisches Taylorpolynom mit zwei Variablen
Zitat:
Original von Sahrah




ist richtig.
Sahrah Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratisches Taylorpolynom mit zwei Variablen
Für die Ableitung nach y und dann nach x bekomme ich

Hatte mich oben verrechnet. Aber es ist dennoch nicht gleich...
Hab's jetzt zehnmal nachgerechnet. Was stimmt denn da nicht? :/ Die Funktion wäre doch noch einmal stetig differenzierbar, oder nicht?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ist ja jetzt auch egal wo der Fehler steckt.

nimm dann einfach Obiges als richtig an.

P.S. warum schreibst du immer ?
Sahrah Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, beim letzten Post sollte das eigentlich dydx sein und nicht dydy. Oder was meinst du?

Also darf ich das bei der Taylor-Entwicklung einfach so machen, dass ich dxdy und dydx einsetze, obwohl es verschieden ist? Weil in der Definition halt " 2dxdy" steht, also vorausgesetzt wird, dass die partiellen Ableitungen erst nach x und dann nach y und erst nach y und dann nach x gleich sind...
Das hatte mich nur so verwirrt, weil ich auch dachte, dass die Ableitungen eigentlich gleich sein müssten, wegen des Lemmas von Schwarz...
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

??

ich sagte doch schon, dass eine der gemischten Ableitungen stimmt.
Die Andere ist demnach falsch, weil sie mit der Richtigen übereinstimmen .

Wenn nicht, dann liegt ein Rechenfehler vor, den ich nicht ergründen kann .

Trotzdem kannst du weiterrechnen.
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht kann folgendes Aufschluss geben:

Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen
(sehe grade, am Ende meines Posts, dass dies doch nichts mit deinem Thema zu tun hat, aber ich lass den Link mal stehen ^^)


Du hast in deinem ersten Post herausgefunden, dass


und nun hast du noch herausgefunden, dass


D.h. du hast herausgefunden, dass:

und damit auch


Was sich mit deinen Berechnungen deckt.
Nun solltest du nochmal überprüfen, ob die erste Zeile tatsächlich korrekt ist, denn dort sieht es für mich so aus, nach obiger Überlegung, ob dort der Fehler stecken könnte :-)

Ich rechne auch eben mal nach - mit Sage-Math:
Das Polynom:


Hier die Funktionen


Sollte noch in LaTeX-Code optimiert werden Augenzwinkern

Aber wie zu sehen ist (4. und 5. Zeile der Ableitungen) sind beide Richtungen identisch. Daher wirst du irgendwo einen Rechenfehler begangen haben. Es ist auch zu lesen (1. und 3. Zeile) dass


Also, viel Spaß beim Fehler finden Big Laugh
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratisches Taylorpolynom mit zwei Variablen
Zitat:

Das ist falsch! Richtig ist:



Nach diese Korrektur sind bei richtiger Rechnung die gemischten zweiten Ableitungen gleich, wie es sein muss.
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