Homotopie

18.06.2013, 17:46

Bartolomeo

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Homotopie

Meine Frage:
Im Anhang.

Meine Ideen:
Also es würde ja reichen, eine explizite Homotopie anzugeben, also eine Abb. H mit $\begin{eqnarray*} H(x,0)=(\gamma _1\otimes \gamma _2)(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H(x,1)=(\eta _1\otimes \eta _2)(x) \end{eqnarray*}$ .
Mir bereitet vorallem Schwierigkeiten, dass $\begin{eqnarray*} \eta _{1,2} \end{eqnarray*}$ nicht explizit angegeben sind. Außerdem müsste das H derart gebaut sein, dass die bestehenden Homotopien aus der Voraussetzung benutzt werden, aber mir will partout nichts einfallen.

18.06.2013, 17:56

Bartolomeo

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Ich frage mich außerdem, ob $\begin{eqnarray*} (\eta _1\otimes\eta _2) (t) \end{eqnarray*}$ analog zu $\begin{eqnarray*} (\gamma _1\otimes\gamma _2)(t) \end{eqnarray*}$ definiert ist?

18.06.2013, 18:15

Shalec

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Heyhey,
ich hoffe, dass noch jemand anderes mit reagiert.

Also:
Guck dir mal deine Voraussetzungen an.

Ich nenne jetzt mal gamma = g und nue = n
entsprechend gamma 1 = g1, gamma 2 = g2

Der Einfachheithalber ^^

in der Aufgabe steht doch:
g1(0)=n1(0)
g1(1)=n1(1)=n2(0)=g2(0)
(hier auf die Gleichheitszeichen Achten!)
g2(1)=n2(1)

Behauptung:
g1 + g2 (homotop) n1 + n2

g=g1 + g2
n=n1 + n2
Versuchs mit der linearen Homotopie
H(x,t)= t*g(x) + (t-1)*n(x)
oft ist diese Standardform einer Homotopie genau das gesuchte fehlende Kettenglied Augenzwinkern

Augenzwinkern

(muss hier aber nicht richtig sein, wenn du dort einen "error" erreichst, gehe wie folgt vor smile

smile

Du hast hier ja sehr simple Übergänge. Z.B. weißt du, dass g1(1)=n2(0)
d.h. (g1+g2)(1)=?

Hier hilft es sicherlich einfach mal die Möglichen Wege zu Skizzieren und daran mal eine Idee zu ergattern. Bzgl. der Homotopie wirst du im Beweis die Gleichheiten von oben verwenden müssen, um von der einen Gleichung, die evtl. augenscheinlich nur auf g abbilden wird eben auf n zu transformieren.

Dazu guck dir mal n(0),n(1), g(0) und g(1) an.

Liebe Grüße und Viel Erfolg!

PS: Denk dran, t ist auf dem Intervall [0,1] definiert.
das t in der Hintereinanderschaltung zweier Kurven muss um in der gleichen Zeit den doppelten Weg zurückgelegt zu haben, doppelt so schnell laufen. Passe die Homotopie ggf. mal an.
d.h. damit habe ich deine zweite Frage beantwortet ^^ n=n1+n2 ist analog definiert. Doppelte Laufgeschwindigkeit :-)

18.06.2013, 18:24

Che Netzer

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Zitat:

Original von Shalec
Ich nenne jetzt mal gamma = g und nue = n

Das $\begin{eqnarray*} \eta \end{eqnarray*}$ spricht man "Eta" (das E lang gesprochen) Augenzwinkern

Augenzwinkern

Als Buchstabe steht es für ein langes e bzw. einen ä-Laut; wird gerne mal als Ersatz für die Variable $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ benutzt.

Zur Aufgabe:
Eine lineare Homotopie ist doch in allgemeinen topologischen Räumen überhaupt nicht wohldefiniert.

Und ja, $\begin{eqnarray*} \eta_1\oplus\eta_2 \end{eqnarray*}$ soll ganz analog definiert sein; das hätte besser formuliert werden können...

Die Idee ist eigentlich recht intuitiv:
Man hat zwei Kurven $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma_2 \end{eqnarray*}$ . Diese verknüpft man mit $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$
Man hat zwei weitere Kurven $\begin{eqnarray*} \eta_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \eta_2 \end{eqnarray*}$ . Diese verknüpft man mit $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ .
Außerdem hat man zwei Homotopien $\begin{eqnarray*} H_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H_2 \end{eqnarray*}$ . Wenn man dort das zweite Argument festhält, hat man wieder zwei Kurven. Was kann man mit denen machen?

19.06.2013, 06:48

Bartolomeo

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Also deinem Muster folgend verknüpft man H_1 und H_2 ebenfalls mit $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} H(x,t)=(H_1\oplus H_2)(x,t)=\begin{cases} H_1(2x,t) & 0\leq x\leq\frac{1}{2} \\ H_2(2x-1,t) & \frac{1}{2} \leq x\leq 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} H(x,0)=\begin{cases} H_1(2x,0) & 0\leq x\leq\frac{1}{2} \\ H_2(2x-1,0) & \frac{1}{2} \leq x\leq 1 \end{cases}=\begin{cases} \gamma _1(2x) & 0\leq x\leq\frac{1}{2} \\ \gamma _2(2x-1) & \frac{1}{2} \leq x\leq 1 \end{cases}=(\gamma_1\oplus\gamma _2)(x) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} H(x,1):=\begin{cases} H_1(2x,1) & 0\leq x\leq\frac{1}{2} \\ H_2(2x-1,1) & \frac{1}{2} \leq x\leq 1 \end{cases}=\begin{cases} \eta _1(2x) & 0\leq x\leq\frac{1}{2} \\ \eta _2(2x-1) & \frac{1}{2} \leq x\leq 1 \end{cases}=(\eta_1\oplus\eta _2)(x) \end{eqnarray*}$

Beim jeweils zweiten Gleichheitszeichen geht die Homotopie von H_1 und H_2 ein. Die angegebenen Anfangs- und Endwerte der Kurven werden benötigt, damit $\begin{eqnarray*} (\gamma_1\oplus\gamma _2)(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\eta_1\oplus\eta _2)(x) \end{eqnarray*}$ stetig sind.

Also ist H Homotopie

19.06.2013, 06:51

Che Netzer

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Genau. Man müsste höchstens noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ stetig ist...

Übrigens kann man $\begin{eqnarray*} H_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H_2 \end{eqnarray*}$ streng genommen nicht mit $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ verknüpfen, da das keine Kurven sind. Aber ich finde es auch recht intuitiv, die Bezeichnung so festzulegen.

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19.06.2013, 07:10

Bartolomeo

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Das stimmt. H muss nur auf stetigkeit im punkt x=1/2 untersucht werden. In diesem Falle muss für Stetigkeit $\begin{eqnarray*} H_1\left(1,t\right) =H_2\left(0,t\right) \end{eqnarray*}$ gelten für alle t. Mir fällt gerade nicht ein, warum das gelten sollte? Man hält t fest und weiß nichts über H_1 und H_2 als dass sie Homotopien sind.

19.06.2013, 07:18

Che Netzer

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RE: Homotopie
Halten Homotopien bei euch nicht die Endpunkte fest?

19.06.2013, 07:25

Bartolomeo

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Ich gehe nicht zur Vorlesung und arbeite mich gerade durch Wikipedia. Also wenn die Endpunkte festgehalten werden, dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} t\in [0,1] \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} H_1(1,t)=\gamma _1(1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H_2(0,t)=\gamma _2(0) \end{eqnarray*}$ und nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} \gamma _1(1)=\gamma _2(0) \end{eqnarray*}$ , also auch $\begin{eqnarray*} H_1(1,t)= H_2(0,t) \end{eqnarray*}$
Damit ist H stetig.
Danke für die tolle Hilfe.

19.06.2013, 07:33

Che Netzer

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Naja, da extra $\begin{eqnarray*} \gamma_1(1)=\eta_1(1)=\gamma_2(0)=\eta_2(0) \end{eqnarray*}$ angegeben war, dürft ihr wohl zumindest davon ausgehen, dass es eine Homotopie gibt, welche diesen Punkt festhält [attach]24103[/attach]
Habt ihr auch kein Skript zur Vorlesung?

19.06.2013, 07:50

Bartolomeo

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Doch, bestimmt Big Laugh

Big Laugh

Ich habe noch eine Frage: Sei G ein Gebiet. 1) Ist G konvex, dann ist G einfach zusammenhängend. 2) Ist G sternförmig, dann ist G einfach zusammenhängend.

Zu 1) Ich muss also zeigen, dass jede geschlossene, doppelpunktfreie Kurve in G stetig auf einen Punkt in G zusammengezogen werden kann, ohne G zu verlassen, d.h. es gibt eine konstante Abbildung $\begin{eqnarray*} \eta \end{eqnarray*}$ , sodass gamma und eta nullhomotop.
Sei $\begin{eqnarray*} \gamma (0)=\gamma (1)=x_0 \end{eqnarray*}$ . Ich definiere
$\begin{eqnarray*} \Phi(x,t)=tx_0+(1-t)\gamma (x) \end{eqnarray*}$ . Aufgrund der Konvexität von G liegt Phi in G und es gilt $\begin{eqnarray*} \Phi(x,0)=\gamma (x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Phi(x,1)=x_0 \end{eqnarray*}$

Zu 2) Hier bin ich mir nicht sicher, wie ich vorgehen muss. Sei x_0 sternförmig in G. Dann muss ich eine Abbildung finden, die jede Kurve auf eine Gerade durch x_0 zu x_0 schickt.

19.06.2013, 08:20

Che Netzer

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Ist denn bekannt, dass konvexe Gebiete sternförmig sind?
Dann brauchst du ja nur 2) zu bearbeiten.

Zieh die Kurve dann einfach linear auf den/einen "Mittelpunkt des Sterns" zusammen.

(Jetzt bin ich erst einmal für ein paar Stunden weg)

19.06.2013, 09:00

Bartolomeo

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Ja, natürlich, ANA II lässt grüßen böse

böse

Sei x_0 ein Sternpunkt von G. Nach Definition gilt dann, dass auch $\begin{eqnarray*} \left\{x_0+t(x-x_0):t\in [0,1]\right\}\subseteq G \forall x\in G \end{eqnarray*}$

Diese Struktur liefert dann auch schon eine Homotopie H mit $\begin{eqnarray*} H(x,t)=x_0+t(\gamma(x)-x_0) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \gamma(x)\subseteq G \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} H(x,t)=x_0+t(\gamma(x)-x_0)\subseteq \left\{x_0+t(x-x_0):t\in [0,1]\right\}\subseteq G \end{eqnarray*}$ .

Außerdem gilt: $\begin{eqnarray*} H(x,0)=x_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H(x,1)=\gamma (x) \end{eqnarray*}$ und H ist stetig.

19.06.2013, 10:20

Bartolomeo

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Eine weitere Aufgabe im Anschluss ist: Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb C^- :=\mathbb C\setminus (-\infty,0] \end{eqnarray*}$ einfach zusammenhängend ist und berechnen Sie für einen geschlossenen Weg $\begin{eqnarray*} \gamma :[0,1]\rightarrow \mathbb C^- \end{eqnarray*}$ das Integral $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma} \frac{dz}{z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C^- \end{eqnarray*}$ ist sternförmig bzgl jeden Punktes (x,0) mit x aus den positiven reellen Zahlen und damit nach obiger Aufgabe einfach zusammenhängend. Sterngebiete sind aber auch Elementargebiete und der Cauchy'sche Integralsatz besagt nun, dass in diesem Falle für jede geschlossene Kurve in das Elementargebiet das Integral verschwindet. Also auch
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{dz}{z}=0 \end{eqnarray*}$

Ich denke, ich habe iwo nen Denkfehler, vorallem weil der Vorfaktor meist zur Normierung führt, d.h. das Integral gleich 1 ist.

19.06.2013, 10:58

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Bartolomeo
... das Integral gleich 1 ist.

Der Weg $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ umfährt den Pol bei 0 nicht, deswegen ist das Integral 0.

19.06.2013, 12:24

Bartolomeo

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Also ist meine Argumentation in Ordnung?

19.06.2013, 12:40

RavenOnJ

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ja

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