Taylorformel - unbekannte Xi? (mehrdimensional).

18.06.2013, 19:04

biensum123

Taylorformel - unbekannte Xi? (mehrdimensional).

Meine Frage:
Hallo,

ich habe nun einiges über die mehrdimensionale Taylorformel gelesen und auch einige Beispiele gesehen.
Aber eines verstehe ich nach wie vor nicht.

Die Taylorformel wird in vielen Büchern so angegeben:
$\begin{eqnarray*} f(x+\xi)=.... \end{eqnarray*}$

Mir ist dabei nicht klar, was dieses Xi genau soll. Ich möchte doch das Taylorpolynom um einen Entwicklungspunkt ermitteln.
Im 1-dimensionalen Fall sagt man ja auch:
f(x)=...

Wieso ist dies im Mehrdimensionalen nicht so? Und gibt es überhaupt eine Möglichkeit dieses Xi zu ermitteln, oder ist es frei wählbar solange x+t*xi im Urbild liegt?

Meine Ideen:
Ich vermute, dass diese "Formel" mit f(x+Xi) nur für theoretische Zwecke verwendet wird und daraus eine brauchbare Formel abgeleitet wird.

18.06.2013, 19:37

Dopap

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kenn ich so nicht , lediglich $\begin{eqnarray*} f(x_0 + h ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ als Entwicklungspunkt!
Und theoretisch ist das ganz und gar nicht.
man kann zum Beispiel den ln(x) leichter als ln(x_0+h) =ln(1+h) entwickeln.

h ist jetzt die unabhängige Funktionsvariable.

Das ist besonders günstig wenn , wie bei Zinssätzen Zahlen wie ln(1.000123) gesucht sind.

mit h=0.000123 hat man dann ein leichtes Rechnen. ( Aus der Zeit vor dem TR )

Oder man hatte eine Formel in 3 Variablen, die immer wieder in derselben Gegend ( = $\begin{eqnarray*} \vec x_0 \end{eqnarray*}$ )ausgewertet werden sollte.

Dann brauchte man nur noch die kleinen Differenzen ( = $\begin{eqnarray*} \vec h \end{eqnarray*}$ ) einzusetzen, was mit dem Rechenstab leicht ging.

Es gibt auch Formeln, wo der TR versagt, da seine Ziffernzahl auf ca. 11 begrenzt ist.
Hier muss man Taylor verwenden.

18.06.2013, 19:52

biensum123

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Hey,

ich poste mal die komplette Formel wie ich sie kennen gelernt habe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{| \alpha | \leq k} (\frac{1}{\alpha !}*d^{\alpha }f(x)*\xi^{\alpha} ) \end{eqnarray*}$ Und dann noch ein Restterm, den ich jetzt mal weglasse.
Außerem gilt: U Teilmenge R^n offen.
x+t*xi liegt in U t€[0, 1] Xi liegt außerdem natürlich auch im R^n

Um welchen Punkt wird hier nun Entwickelt?
Um x oder um Xi?
Und v.a. was ist wenn xi gleich Null ist. Dann ist diese Summe doch offensichtlich Null, aber das wäre doch quatsch, oder?

18.06.2013, 20:09

Dopap

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ich würde sagen: $\begin{eqnarray*} \vec x_0 \end{eqnarray*}$ ist der Entwicklungspunkt.

$\begin{eqnarray*} \vec \xi =\vec x - \vec x_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ als Argument der Ableitungen gefällt mir nicht. Da entsteht Schreibkonflikt mit $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ in den Potenzen.

Also eher:

$\begin{eqnarray*} f(x) \approx \sum\limits_{| \alpha | \leq k} (\frac{1}{\alpha !}*d^{\alpha }f(x_0)*(\xi)^{\alpha} ) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \xi=x-x_0 \end{eqnarray*}$

18.06.2013, 22:29

biensum123

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Ah ok, das passt dann auch mit den anderen Taylorformeln zusammen.
Hast du evtl. eine Erklärung parat, wieso meine Formel dann so "umständlich" ist und der Entwicklungspunkt nicht offensichtlich ist? Hat das irgendwelche Vorteile?

19.06.2013, 01:28

Dopap

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keine Ahnung! offensichtlich gibt es leider Leute die Ihr eigenes Süppchen kochen. Sozusagen persönlicher Stil.

Wenn du nicht ganz fit bist, erlebst du sowas nicht gerade als Aufbau für das Selbstbewußtsein.
Nicht umsonst gibt es so viele Aussteiger.
Also musst du (fr)essen ! Seltsamerweise gibt es dann viele die nach dieser "Kur" ebenso arrogant wie Ihre Peiniger werden unglücklich

Denk mal an die "Riten" für die Neusemester ! Später sind sie dann genauso. Seltsame Rituale, für einen '68 nicht nachvollziehbar.

Zum Thema: wenn $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ eigenständig ist, könnte man doch auch:

$\begin{eqnarray*} f(\xi) \approx \sum\limits_{| \alpha | \leq k} (\frac{1}{\alpha !}*d^{\alpha }f(x_0)*(\xi)^{\alpha} ) \end{eqnarray*}$

schreiben.

Und wir hätten eine Transformation der Variablen.

Vorteile? habe ich schon für gewisse paktische Fälle $\begin{eqnarray*} x=x_0+h \end{eqnarray*}$ angedeutet.

theoretisch seh' ich keinen Vorteil, es bleibt trotz Umbenennungen dasselbe Problem.

19.06.2013, 13:30

biensum123

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Zitat:

Original von Dopap
kenn ich so nicht , lediglich $\begin{eqnarray*} f(x_0 + h ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ als Entwicklungspunkt!
Und theoretisch ist das ganz und gar nicht.
man kann zum Beispiel den ln(x) leichter als ln(x_0+h) =ln(1+h) entwickeln.

h ist jetzt die unabhängige Funktionsvariable.

Das ist besonders günstig wenn , wie bei Zinssätzen Zahlen wie ln(1.000123) gesucht sind.

mit h=0.000123 hat man dann ein leichtes Rechnen. ( Aus der Zeit vor dem TR )

Oder man hatte eine Formel in 3 Variablen, die immer wieder in derselben Gegend ( = $\begin{eqnarray*} \vec x_0 \end{eqnarray*}$ )ausgewertet werden sollte.

Dann brauchte man nur noch die kleinen Differenzen ( = $\begin{eqnarray*} \vec h \end{eqnarray*}$ ) einzusetzen, was mit dem Rechenstab leicht ging.

Es gibt auch Formeln, wo der TR versagt, da seine Ziffernzahl auf ca. 11 begrenzt ist.
Hier muss man Taylor verwenden.

Hi,

ich möchte nochmal kurz auf deinen ersten Beitrag zurück kommen.
Du sagtest du kennst es auch als
f(x_o + h) mit x_o als Entwicklungspunkt.
Habe ich es richtig verstanden, dass dann h die Funktionsvariable ist und x_o ein fester Wert ist?

19.06.2013, 17:51

Dopap

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genau so ist es ! smile

20.06.2013, 00:01

biensum123

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Ah ok Danke smile

Und wie sieht das dann aus.
Ich stell mir das gerade mal für f(x)=x*y
um den Entwicklungspunkt (1,1).

Dann wäre das:
f((x, y) (1, 1))=.... (Das Ergebnis sei mal dahingestellt)
Wie erhält man daraus dann expliziet:

f(x, y) ≈ ...
bedeutet das oben etwa:
f((x, y) (1,1)≈ f(x, y) um den Entwicklungspunkt (1, 1)?

Vielen Dank nochmal!

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