Basis finden

18.06.2013, 19:58

Martin1

Basis finden

Wenn ich eine Basis zu vorgegebenen Vektoren finden soll, so kann ich diese einfach in Matrixform darstellen (Vektor=eine Spalte der Matrix) und sie in Stufenform bringen. Dann schau ich mir in jeder Zeile die erste Zahl an die ungleich Null ist! Diese Stelle bzw. Spalte ist dann gleich des Vektors der zu dieser Spalte gehört und somit zur Basis gehört.

Ist das richtig ?

18.06.2013, 20:33

Alaster

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Erstmal: Von welchem Vektorraum reden wir hier eigentlich? Ich vermute, dass du einen Unterraum $\begin{eqnarray*} U \subseteq \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ mit Dimension $\begin{eqnarray*} k \le n \end{eqnarray*}$ meinst. Falls dem so ist: Wenn du bereits $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Vektoren gegeben hast, kannst du diese als Zeilenvektoren in eine Matrix eintragen und diese mit dem Gauß-Verfahren auf Zeilenstufenform bringen. Diese Matrix in Zeilenstufenform enthält dann gerade deine Basisvektoren als Zeilen.

18.06.2013, 20:45

Martin1

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Zitat:

Original von Alaster
Erstmal: Von welchem Vektorraum reden wir hier eigentlich? Ich vermute, dass du einen Unterraum $\begin{eqnarray*} U \subseteq \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ mit Dimension $\begin{eqnarray*} k \le n \end{eqnarray*}$ meinst. Falls dem so ist: Wenn du bereits $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Vektoren gegeben hast, kannst du diese als Zeilenvektoren in eine Matrix eintragen und diese mit dem Gauß-Verfahren auf Zeilenstufenform bringen. Diese Matrix in Zeilenstufenform enthält dann gerade deine Basisvektoren als Zeilen.

Ja genau so ist es bzgl. dem Unterraum. Also wenn ich eine Basis zu vorgegebenen Vektoren finden soll, schreibe ich die vorgegebenen Vektoren jeweils als Zeilen auf, bringe sie in Stufenform mithilfe Gauß. Dann sind die Basen, die einzelnen Zeilen ? Die Nullzeile gilt dabei nicht.

Das kann ich auch für die Basis on Bildern etc verwenden oder?

Edit: Würde den das auch irgendwie als Spaltenvektoren funktionieren ?

18.06.2013, 20:57

Alaster

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Ja, die einzelnen Zeilenvektoren sind dann deine Basisvektoren. Es kann natürlich sein, dass manche von den gegebenen Vektoren linear abhängig sind. Durch Gauß bekommst du dann entsprechend Nullzeilen und du hast in diesem Fall noch nicht $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ linear unabhängig Vektoren. Dann musst du noch welche ergänzen. Nach dem Basisergänzungssatz ist das immer möglich.

Wenn du mit "Basis von Bildern" eine Basis des Bildes einer Matrix A meinst, so gilt folgendes: Das Bild von A ist der Span der Spalten von A bzw. der Span der Zeilen von $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ .

18.06.2013, 21:46

Martin11

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Zitat:

Original von Alaster
Ja, die einzelnen Zeilenvektoren sind dann deine Basisvektoren. Es kann natürlich sein, dass manche von den gegebenen Vektoren linear abhängig sind. Durch Gauß bekommst du dann entsprechend Nullzeilen und du hast in diesem Fall noch nicht $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ linear unabhängig Vektoren. Dann musst du noch welche ergänzen. Nach dem Basisergänzungssatz ist das immer möglich.

Wenn du mit "Basis von Bildern" eine Basis des Bildes einer Matrix A meinst, so gilt folgendes: Das Bild von A ist der Span der Spalten von A bzw. der Span der Zeilen von $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ .

Schein ich verstanden zu haben, also funktioniert das auch für Bilder. Was ich nicht verstanden habe, ist dass ich noch weitere ergänzen muss. Ist das oft der Fall? Ich dachte ich bringe die vorgegebenen Vektoren in eine Matrix über, wobei jeder Vektor eine Zeile ist, und bringe sie dann auf Stufenform mithilfe Gauß- Dann brauch ich nur noch alle Zeilen ungleich Nullzeile ablesen, das ist die Basis. Egal ob nur 1,2 oder drei Vektoren.

18.06.2013, 21:52

Alaster

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Wenn du einen Unterraum der Dimension k hast, aber noch nicht k linear unabhängige Vektoren, dann musst du noch solange welche ergänzen bis du k Stück hast. Vorher hast du keine Basis vom Unterraum.

Edit: Ich glaube hier liegt ein kleines Missverständnis vor. Was du meinst, ist, dass du gewissen Vektoren vorgegeben hast, und eine Basis des von diesen Vektoren erzeugten Unterraums bestimmen sollst? In diesem Fall eliminiert das Gauß-Verfahren alle linear abhängigen Vektoren und du kannst die Zeilenvektoren, die nicht Nullzeilen sind, getrost als Basis nehmen.

19.06.2013, 00:26

Martin11

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Zitat:

Original von Alaster
Wenn du einen Unterraum der Dimension k hast, aber noch nicht k linear unabhängige Vektoren, dann musst du noch solange welche ergänzen bis du k Stück hast. Vorher hast du keine Basis vom Unterraum.

Edit: Ich glaube hier liegt ein kleines Missverständnis vor. Was du meinst, ist, dass du gewissen Vektoren vorgegeben hast, und eine Basis des von diesen Vektoren erzeugten Unterraums bestimmen sollst? In diesem Fall eliminiert das Gauß-Verfahren alle linear abhängigen Vektoren und du kannst die Zeilenvektoren, die nicht Nullzeilen sind, getrost als Basis nehmen.

Vielen dank, genau das meine ich. Den ich habe hier zwei Abbildungen gegeben und ich soll die Basis vom Bild und vom Kern bestimmen. Nun habe ich zunächst die Abbildungen in eine Matrix überführt (Wobei die Spalten die Bilder darstellen) und diese als Zeilen der Matrix nochmal dargestelt und in Zeilenstufenform gebracht. Alle ungleich Nullzeilen sind die Basis dieser drei vorgegebenen Bilder. Beim Kern habe ich die Bilder so gelassen wie sie waren, also einfach die drei Vektoren als Spalten in einer Matrix gelassen.

Habe sie auf Stufenform gebracht und erst einmal geschaut welche Dimension der Kern überhaupt hat mithilfe des Dimensionssatzes. Er hat die dim 1. Ich habe dann die Lösungsmenge dieser Stufenform berechnet und nun eine allgemeine Lösungsmenge angegeben. Das ist doch jetzt meine Basis vom Kern oder? wobei die Variablen element IR sind.

19.06.2013, 12:03

Martin1

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Schau dir bitte noch folgendes Lernvideo an:

http://www.online tutorium.com/product_info.php?manufacturers_id=2&products_id=457

So hatte ich bisher zu vorgegebenen Vektoren eine Basis gefunden, Ist das falsch oder ist das etwas anderes was dort gemacht wird?

Mir fällt auf, das bei diesem Video bereits vorhandene Vektoren eine Basis bilden, beim Verfahren von dir entstehen neue Vektoren. Kannst du mich darüber aufklären ?

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