Zeige, dass ein Modul zyklisch ist anhand von Eigenwerten

19.06.2013, 09:15	Staubkoernchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige, dass ein Modul zyklisch ist anhand von Eigenwerten Hallo, folgendes Blatt steht bis morgen an: [attach]30637[/attach] Ich habe das Skript erneut durchgelesen und durchgefahndet hinsichtlich allem, was auch nur irgendwie damit zusammenhängt, aber ich komm einfach nicht drauf, wie ich das lösen soll. Wenn mir jemand einen Tipp geben könnte, wäre ich sehr dankbar! LG, das Staubkoernchen
19.06.2013, 15:55	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest die Modulstruktur schon erwähnen. Meine Glaskugel sagt mir: $\begin{eqnarray} fv := f(A)(v) \end{eqnarray}$ . Dann erstmal zur ersten Aufgabe. O.b.d.a sei A diagonal mit den 3 Eigenwerten auf der Diagonale. Zeige, dass der Modul dann vom Vektor $\begin{eqnarray} (1,1,1)^T \end{eqnarray}$ erzeugt wird. Wenn du das "o.B.d.A" nicht willst (oder nicht direkt nachvollziehen kannst), so kann man auch direkt koordinatenfrei vorgehen: Zu jedem der 3 Eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ wählst du einen Eigenvektor $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_1+v_2+v_3 \end{eqnarray}$ erzeugt dann den Modul. Edit: Da ich gleich weg bin und bis zum späteren Abend nicht wiederkommen werden, gebe ich dir auch gleich noch einen Tipp für den zweiten Teil: Man kann zeigen: Für alle $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \mathbb R[X]v \subset \langle v, (A-\lambda \operatorname{id})v \rangle \end{eqnarray}$ , wobei der Span als Vektorraum gemeint ist. Das zeigt natürlich die Behauptung. Genauere Analyse zeigt interessanterweise: $\begin{eqnarray} f(A)v = f(\lambda) v + f'(\lambda) (A-\lambda \operatorname{id})v \end{eqnarray}$ . Hier kommt also wie von Geisterhand die Ableitung ins Spiel
19.06.2013, 18:17	Staubkoernchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Glaskugel hat Recht! Vermute ich zumindest Hier die Modulstruktur: Sei $\begin{eqnarray} R = K[x] \end{eqnarray}$ der Polynomring in einer Variablen, und sei $\begin{eqnarray} M = K^{n}. \end{eqnarray}$ Wähle fest eine Matrix $\begin{eqnarray} A \in M^{n}(K) \end{eqnarray}$ und für ein Polynom $\begin{eqnarray} p(x)= a_{0} +a_{1} x^{1} +a_{2} x^{2} +...+a_{p} x^{p} \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} Sei p(A) = a_{0} einheitsmatrix +a_{1} A^{1} +a_{2} A^{2} +...+a_{p} A^{p} \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} K[x] x K^{n} \|-> K^{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (p(x),v) \|-> p(x)v := p(A)v \end{eqnarray*}$ wird das zu einem Modul. Ich bin auch erst abends wieder da, wollte mich aber schonmal bedanken und die Modulstruktur angeben.
19.06.2013, 22:02	Staubkoernchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schreib dir mal auf, was ich mir zur 1 überlegt habe: Am Ende der Abbildung haben wir ja einen Vektor. Lässt sich der durch den Spann von <1,1,1> beschreiben, dann heißt das, das bei der Multiplikation der Matrix, die durch das Polynom geschickt wurde, mit dem Vektor, Zeile 1 der Matrix * Vektor dasselbe ergab wie Zeile 2*Vektor etc. Das kann aber nur der Fall sein, wenn die Zeilen gleich sind? Ja und da lande ich in einer Sackgasse Oder bin ich auf nem ganz falschen Pfad?
20.06.2013, 07:42	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht eher nach dem falschen Pfad aus. Was du hier konkret zeigen musst: Es gibt einen einzelnen Erzeuger des Moduls. Ich habe dir im Fall A diagonal schon verraten, dass $\begin{eqnarray} (1,1,1)^T \end{eqnarray}$ es tut. Was du nun noch zeigen musst: Zu jedem beliebig vorgegebenen Vektor $\begin{eqnarray} (a_1,a_2,a_3) \in \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ gibt es ein Polynom $\begin{eqnarray} f \in \mathbb R[X] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(A)(1,1,1)^T = (a_1,a_2,a_3)^T \end{eqnarray}$ . Am besten berechnest du zu diesem Zweck einfach mal $\begin{eqnarray} f(A)(1,1,1)^T \end{eqnarray}$ . Dann siehst du, wie es weitergeht. Da $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ bei uns so eine einfache Form hat, sollte das eigentlich nicht schwer sein.

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