Fläche zwischen Kreis und Parabel - Seite 2

19.06.2013, 13:52

alterHund

das gibt ein Gelächter im Forum Hammer

so
hätte ich beginnen müssen:
$\begin{eqnarray*} I = \int \sqrt{1 - \left( \frac{x-2}{2} \right)^2} \dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x-2}{2} = \sin u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 2\cdot \sin u + 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dx = 2 \cdot du \cos u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = 2 \cdot \int \sqrt{1- \sin ^2 u} \cos u \, du \end{eqnarray*}$

mach da nun selbst weiter ( 30° Zimmertemperatur )

19.06.2013, 14:19

daniel22

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$\begin{eqnarray*} I = \int \sqrt{1 - \left( \frac{x-2}{3} \right)^2} \dx \end{eqnarray*}$

Durch 2 ;-)

Stimmt das soweit?

$\begin{eqnarray*} I=\int \! (\sqrt{1-sin^2(u)}2cos(u)) \, du \end{eqnarray*}$

dann:

$\begin{eqnarray*} I=\int \! (\sqrt{cos^2(u)}2cos(u)) \, du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I=\int \! ({cos(u)}2cos(u)) \, du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I=\int \! (2{cos^2(u)}) \, du \end{eqnarray*}$

Edit: Wie setze ich jetzt das u ein?

$\begin{eqnarray*} I=2\cdot (\frac{sin(2u)}{4} +\frac{u}{2}) \, \end{eqnarray*}$

19.06.2013, 14:47

alterHund

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ich komme bei Deiner letzten Umformung nicht mit
wolltest Du
$\begin{eqnarray*} \cos 2 u = \cos^2 u - \sin^2 u = 2 \cdot \cos^2 u - 1 \end{eqnarray*}$
benutzen?

19.06.2013, 15:06

alterHund

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oh, begriffen;

u = arcsin((x-2)/2)

einsetzen .

19.06.2013, 16:57

daniel22

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$\begin{eqnarray*} I=2\cdot \frac{sin(2arcsin\frac{x-2}{2}) }{4} + {arcsin \frac{x-2}{2}} \, \end{eqnarray*}$

Sollte so stimmen.

Wie fasse ich das zusammen? Kann man das noch vereinfachen?

19.06.2013, 18:40

alterHund

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entsprechende den trigon. Ad-Formel und sin²+cos²

$\begin{eqnarray*} \sin(\arcsin(z)) = z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin(2*..) = 2*z*\sqrt{1-z^2} \end{eqnarray*}$

für z einsetzen.

19.06.2013, 18:59

daniel22

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Hatte noch einen Fehler. Beim zweiten Term muss die 2 aus dem Nenner. Ist schon gekürzt und im ersten Term habe ich auch die 4 mit der 2 gekürzt.

Demnach müsste das vollständige Integral so lauten:

$\begin{eqnarray*} A=\left[\frac{sin(2\cdot arcsin\frac{x-2}{2}) }{2}+arcsin\frac{x-2}{2}-\frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1,3788} \end{eqnarray*}$

Den letzten Term habe ich auch noch integriert: -x^2=-x^3/3

Habe bei der Fläche aber was ziemlich großes rausbekommen.
Laut Lösungsbuch müssten es A=1,0457 sein.
Habe ich doch was falsch gemacht?

19.06.2013, 19:22

alterHund

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ich kann nicht mehr, bei mir kommt auch Unsinn ( 0.08599.... ) für Dein A heraus .

19.06.2013, 19:55

thk

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Zitat:

Original von alterHund
das gibt ein Gelächter im Forum Hammer

so
hätte ich beginnen müssen:
$\begin{eqnarray*} I = \int \sqrt{1 - \left( \frac{x-2}{2} \right)^2} \dx \end{eqnarray*}$
...( 30° Zimmertemperatur )

Bis auf diesen Hitzefehler (2 vergessen) stimmt alles smile

20.06.2013, 18:10

daniel22

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Kommt jemand auf die A=1,0457 ?

20.06.2013, 18:33

alterHund

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ja
hier die richtige Stammfunktion

20.06.2013, 18:52

alterHund

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und noch die Herleitung

20.06.2013, 19:16

daniel22

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Ab der 5. Zeile verstehe ich nicht mehr was da gemacht wurde.

Warum steht da auf der linken Seite (1/2) I und wie kommt man eine Zeile drunter auf das? 2 · cos2u = 1+cos 2u ?

20.06.2013, 19:40

alterHund

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in der 2ten Zeile steht eine 2 vor dem Integral
danach rechne ich bis zu vorletz mit dem halben
Integral.
es gilt
$\begin{eqnarray*} \cos (\alpha / 2) = \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}} \end{eqnarray*}$
daraus folgt 2*cos²....

21.06.2013, 16:49

alterHund

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alles klar daniel22 ?

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