Fläche zwischen Kreis und Parabel

19.06.2013, 11:03

daniel22

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Fläche zwischen Kreis und Parabel

Meine Frage:
Hallo

Ich soll den Flächeninhalt zwischen dem Kreis mit der Funktionsgleichung $\begin{eqnarray*} (x-2)^2+y^2=4 \end{eqnarray*}$ und der Normalparabel $\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$ berechnen.

Meine Ideen:
Ich habe y=x^2 in die Kreisgleichung eingesetzt und vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} x^4+x^2-4x-2=0 \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit?
Weil ein Schnittpunkt muss in (0,0)liegen.
Hab mir die Graphen anzeigen lassen.

Wie geht's weiter?

19.06.2013, 11:17

alterHund

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$\begin{eqnarray*} 2^2 - 4 = ? \end{eqnarray*}$

19.06.2013, 11:21

daniel22

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=0

Aber wieso stimmt das bei meiner Gleichung nicht?

19.06.2013, 11:23

alterHund

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$\begin{eqnarray*} (x-2)^2+y^2=4 \end{eqnarray*}$
auf beiden Seite 4 subtrahieren

19.06.2013, 11:26

daniel22

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$\begin{eqnarray*} (x-2)^2+y^2-4=0 \end{eqnarray*}$

19.06.2013, 11:27

Mathewolf

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Da hast du dich wohl verrechnet.

Du hast due Parabelgleichung in die Kreisgleichung eingesetzt. Dann erhältst du aber

$\begin{eqnarray*} (x-2)^2+x^4-4=0\ \Leftrightarrow\ x^2-4x+4+4x-4=0\ \Leftrightarrow\ x^4+x^2-4x=0 \end{eqnarray*}$

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19.06.2013, 11:34

daniel22

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Okay.

Dann bleibt mir noch $\begin{eqnarray*} x^3+x-4=0 \end{eqnarray*}$

19.06.2013, 11:35

alterHund

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ja

19.06.2013, 11:38

daniel22

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Wie bekomme ich da am Einfachsten die Nullstellen heraus?

19.06.2013, 11:51

alterHund

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Newton'sches Näherungsverfahren

19.06.2013, 11:57

Mathewolf

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Entweder mit der Cardanischen Formel oder mit dem Newtonverfahren.

Tipp: Schau dir mal den Funktionsgrafen an.

19.06.2013, 12:08

daniel22

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Habs raus: 1,3788
Der Rest muss komplexwertig sein, da sonst keine Schnittpunkte vorhanden sind.
Die brauche ich ja nicht.

19.06.2013, 12:13

daniel22

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$\begin{eqnarray*} A=\int_0^{1,3788} \! [(x-2)^2+y^2-4-x^2] \, dx \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

19.06.2013, 12:21

Mathewolf

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Nein, du musst die Kreisgleichung umformen und den Betrachtungsbereich so einschränken, dass aus der Relation eine Funktion wird. Dazu schau dir mal an, in welchem Quadranten sich die Schnittpunkte befinden.

19.06.2013, 12:22

alterHund

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$\begin{eqnarray*} y_{Kreis} = ? \end{eqnarray*}$

19.06.2013, 12:28

daniel22

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$\begin{eqnarray*} y_{Kreis}=\sqrt{-x^2+4x} \end{eqnarray*}$

Ein Punkt liegt im Ursprung und der zweite im ersten Quadranten.

Wie muss ich jetzt das Integral aufschreiben?

19.06.2013, 12:40

Mathewolf

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Nein, die Funktionsgleichung stimmt nicht.
Beide Punkte liegen im 1. Quadranten. Das heißt, wir benötigen nur den oberen Halbkreis. Die Funktionsgleichung ist also gegeben durch

$\begin{eqnarray*} k(x)=\sqrt{4-x^2} \end{eqnarray*}$

Die Fläche, die der Kreis und die Normalparabel einschließen, berechnet sich dann aus dem Integral über die Differenz beider Funktionsgleichungen.

19.06.2013, 12:45

daniel22

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$\begin{eqnarray*} A=\int_0^{1,3788} \! (\sqrt{-x^2+4x}-x^2) \, dx \end{eqnarray*}$

So sollte es doch stimmen.

Aber wie integriert man diesen Ausdruck?

19.06.2013, 12:50

alterHund

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bleib bei
$\begin{eqnarray*} \sqrt{4-(x-2)^2} \end{eqnarray*}$ ,
klammere eine 4 aus,
substituiere

19.06.2013, 12:56

Mathewolf

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Nein, du hast wieder die falsche Diskriminante genommen. Richtig wäre

$\begin{eqnarray*} A=\int_0^{1,3788}(\sqrt{4-x^2}-x^2)\,dx \end{eqnarray*}$

Um das Integral zu berechnen, bilde daraus erst mal zwei Einzelintegrale. Um das Integral über den Wurzelterm zu berechnen, versuch es mal mit der Substitution $\begin{eqnarray*} x:=2\sin\varphi \end{eqnarray*}$ .

Ich gebe dann mal an alterHund ab... Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.06.2013, 13:01

alterHund

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@Mathewolf: der Kreis ist um 2 nach rechts verschoben; ok ich übernehme smile

smile

$\begin{eqnarray*} (4 - (x-2)^2 = 4 \cdot \left( 1 - \frac{x-2}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{...} = 2 \cdot \sqrt{ 1 -\left( \frac {x-2}{2} \right) ^2 } \end{eqnarray*}$

nun substituier sinu = (x-2)/2

19.06.2013, 13:02

daniel22

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Wie stelle ich das an?

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4-(x-2)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4-z} \end{eqnarray*}$ ?

19.06.2013, 13:10

Mathewolf

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Zitat:

Original von alterHund
@Mathewolf: der Kreis ist um 2 nach rechts verschoben

Ja, stimmt. Das hatte ich ganz vergessen.

19.06.2013, 13:16

alterHund

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@daniel22: siehe meinen von 13:01

19.06.2013, 13:23

daniel22

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Zitat:

Original von alterHund
nun substituier sinu = (x-2)/2

Wie kommt man darauf?

19.06.2013, 13:30

alterHund

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ist Standardverfahren, erinnert irgendwie an sin²v + cos²v = 1;
da
Dir die Aufgabe gestellt wurde sollte es eigentlich schon Stoff gewesen sein

oder mach es mal umgekehrt, für
$\begin{eqnarray*} \int \cos x \dx \end{eqnarray*}$
kannst Du auch
$\begin{eqnarray*} \int \sqrt {1-\sin^2 x} \dx \end{eqnarray*}$
schreiben, und jetz substituieren

19.06.2013, 13:41

daniel22

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$\begin{eqnarray*} sin(u)=\frac{x-2}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}=0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{du}{0,5} \end{eqnarray*}$

Was mache ich jetzt genau?

Edit: Habs jetzt schon so geschrieben

19.06.2013, 13:44

alterHund

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einsetzen

19.06.2013, 14:00

daniel22

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Zitat:

Original von alterHund

$\begin{eqnarray*} (4 - (x-2)^2 = 4 \cdot \left( 1 - \frac{x-2}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{...} = 2 \cdot \sqrt{ 1 -\left( \frac {x-2}{2} \right) ^2 } \end{eqnarray*}$

Da fehlt doch noch bei der oberen Gleichung (x-2)/2 das Quadrat, oder?
Also so (x-2)^2/2

$\begin{eqnarray*} \int \! 2\sqrt{1-sin^2(u) } \, \frac{du}{0,5} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?
Jetzt weis ich nicht mehr weiter, was nun?

19.06.2013, 14:02

alterHund

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$\begin{eqnarray*} 1 - \sin^2\alpha = ? \end{eqnarray*}$

19.06.2013, 14:04

alterHund

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zu Deinen von 14:00 : meine Klammerung ist falsch.

19.06.2013, 14:15

daniel22

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$\begin{eqnarray*} 4 - (x-2)^2 = 4 \cdot \left( 1 - \frac{x-2}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{...} = 2 \cdot \sqrt{ 1 -\left( \frac {x-2}{2} \right) ^2 } \end{eqnarray*}$

Ich versteh das nicht. Warum durch 2 und nicht durch 4?
Die 4 Muss sich beim reinrechnen doch wegkürzen.

warum?
$\begin{eqnarray*} 1 - \sin^2\alpha = \end{eqnarray*}$

Ob man Alpha oder x schreibt ist doch egal.

$\begin{eqnarray*} \int \! 2\sqrt{1-sin^2(u) } \, \frac{du}{0,5} \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich jetzt das weiter an?

19.06.2013, 14:18

alterHund

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statt
$\begin{eqnarray*} 4 - (x-2)^2 = 4 \cdot \left( 1 - \frac{x-2}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$
soll es
$\begin{eqnarray*} 4 - (x-2)^2 = 4 \cdot \left( 1 - \left( \frac{x-2}{2}\right)^2 \right) \end{eqnarray*}$
lauten

ich wollte nur auf die sin² + cos² Formel hinweisen die Du auf den Wurzelradikanden anwenden sollst

19.06.2013, 14:23

daniel22

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Also kann ich das so schreiben?

$\begin{eqnarray*} \int \! 2\sqrt{cos^2(u) } \, \frac{du}{0,5} \end{eqnarray*}$

19.06.2013, 14:27

alterHund

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genau so

19.06.2013, 14:35

daniel22

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$\begin{eqnarray*} 4\cdot \int \! \sqrt{cos^2(u)} \, du \end{eqnarray*}$

Und weiter?

19.06.2013, 14:38

alterHund

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die Grenzangaben sind noch verfrüht; die Wurzel ziehen, Stammfunktion bilden, rücksubstituieren

19.06.2013, 15:00

daniel22

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$\begin{eqnarray*} 4\cdot \int \! cos(u) \, du= 4\cdot sin(u)=4\cdot sin\frac{x-2}{2} \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit?

Bin mir wegen dem Ausdruck nicht sicher was ich jetzt einsetzen muss:

$\begin{eqnarray*} 4 - (x-2)^2 = 4 \cdot \left( 1 - \left( \frac{x-2}{2}\right)^2 \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =2 \cdot \sqrt{ 1 -\left( \frac {x-2}{2} \right) ^2 } \end{eqnarray*}$

Ich habe im Moment keine Übersicht und weis nicht was ich jetzt alles zusammen schreiben muss

19.06.2013, 15:11

alterHund

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nein, nach dem 2ten "=" nicht;

19.06.2013, 15:14

daniel22

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u=(x-2)/2

Muss ich das beim Einsetzen quadrieren?

$\begin{eqnarray*} 4\cdot sin\frac{(x-2)^2}{4} \end{eqnarray*}$

weil wir hatten ja $\begin{eqnarray*} =2 \cdot \sqrt{ 1 -\left( \frac {x-2}{2} \right) ^2 } \end{eqnarray*}$

Wie lautet jetzt das vollständige Integral?

Hab jetzt nicht mehr viel Zeit. Muss noch lernen.

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