Erwartungswert und Varianz bestimmen

26.02.2007, 15:34

brunsi

Erwartungswert und Varianz bestimmen

Die tatsächliche Flugzeit X [in Minuten] von Köln nach Washington kann als normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und Varianz $\begin{eqnarray*} (\sigma)^2 \end{eqnarray*}$ aufgefasst werden.

Es sei bekannt, dass $\begin{eqnarray*} P(X\leq470)=0,9332 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(X>426)=0,7580 \end{eqnarray*}$
Bestimmen Sie aus diesen Angaben $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {\sigma}^2 \end{eqnarray*}$ .

So eine ähnliche Aufgabe hatte ich jetzt schon zwei Mal hier drin, aber so ganz verstehe ichs ie noch nicht.

Es gilt also:

$\begin{eqnarray*} P(X\leq470)=F_{SN}(z\leq\frac{x-\mu}{\sigma})=0,9332 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X\geq426)=1-F_{SN}(z\leq\frac{x-\mu}{\sigma})=0,7580 \end{eqnarray*}$

damit ergibt sich:

(1) $\begin{eqnarray*} 1,50\leq\frac{x-\mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} 0,70\leq\frac{x-\mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$

wenn ich dieses Gleichungssystem nun auflöse, erhalte ich für $\begin{eqnarray*} \mu=387,5 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} \sigma=55 \end{eqnarray*}$

Kann mir jmd. unabhängig von meiner Darstellung bestätigen, ob meine Lösung richtig oder falsch ist??

Viele Grüße
brunsi

26.02.2007, 15:44

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Nein, die Lösung ist falsch, wegen eines Vorzeichenfehlers bei b): -0.7 statt 0.7.

Dass ich deine Form da generell ablehne, kannst du dir vermutlich selbst denken, sonst hättest du deine Anfrage nicht so defensiv formuliert. Augenzwinkern

26.02.2007, 16:20

brunsi

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ok, dann erhalte ich nun für $\begin{eqnarray*} \mu=440 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma=20 \end{eqnarray*}$

Habe noch eine weitere Teilaufgabe hierzu:

Welche Flugzeit wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% nicht überschritten?

Gesucht ist X : Flugzeit in Minuten, die mit 95%iger Wahrscheinlichkeit nicht überschritten wird.

Also:

$\begin{eqnarray*} P(X=?)\leq0,95 \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1,645\leq\frac{X-440}{20} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow X=472,9 \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie ist das noch zu gering?!! verwirrt

@Arthur: Weiß ich wohl, dass du meine Form generell ablehnst Big Laugh

, aber so hat man es uns beigebracht. Es wäre jedoch nett, wenn du mir einmal eine korrekte Darstellung geben könntest. Bedenke bis jetzt bin ich nur BWL-Student, ich kann also gar nicht wissen, wie man das richtig formuliert LOL Hammer

26.02.2007, 16:26

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Mit ganz einfachen Mitteln kann das ganze vernünftig geschrieben werden, ohne großen Mehraufwand. Du musst hauptsächlich die ominösen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durch das ersetzen, was da eigentlich hingehört!

Zitat:

Es gilt also:

$\begin{eqnarray*} P(X\leq 470) = F_{SN}\left(Z \leq \frac{470-\mu}{\sigma} \right) = 0.9332 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 426) = 1-F_{SN}\left(Z \leq \frac{426-\mu}{\sigma} \right) = 0.7580 \end{eqnarray*}$

damit ergibt sich:

(1) $\begin{eqnarray*} \frac{470-\mu}{\sigma} = z_{0.9332} = 1.50 \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} \frac{426-\mu}{\sigma} = z_{1-0.7580} = -z_{0.7580} = -0.7 \end{eqnarray*}$

Letztere $\begin{eqnarray*} z_{\alpha} \end{eqnarray*}$ -Werte natürlich abgelesen (aus Tabelle oder Programm, wie auch immer).

Das ist doch nicht zuviel verlangt!

EDIT: Ich will dich doch nicht ärgern, brunsi. Aber ich war ja auch ein paar Jahre Hochschulassistent, und wenn ich als Klausurniederschrift deine obige Lösung bekommen hätte, dann wäre nur der Aufschrieb $\begin{eqnarray*} P(X\leq 470) = 0.9332 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(X>426) = 0.7580 \end{eqnarray*}$ punktmäßig verwertbar gewesen. Das Zeugs danach hätte ich mit diesem "mehrdeutigen" $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ganz einfach als Unsinn eingestuft, ohne Punktbewertung.

Mit ordentlichem Aufschrieb kann man dagegen trotz Rechenfehler wie diesem Vorzeichenfehler hier noch einiges rausholen. Das dürfte dir doch eigentlich nicht neu sein.

26.02.2007, 17:51

brunsi

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achso, das war nur zu bemängeln!! na gut da hast recht, das hätte ich dazu schreiben sollen. muss ich gleich nachträglich bei meinen handschriftlichen aufzeichnungen noch tun.

aber jetzt zu meinem anderen kleinen Problemchen.

Stimmt dass denn so wie ichs geschrieben habe??

26.02.2007, 19:12

yeti777

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Zitat:

Original von brunsi
achso, das war nur zu bemängeln!!

Hallo brunsi!

Darf ich dir einen Tipp geben? Der Grund, warum Arthur so streng ist, ist der, dass das Klein-x und das Gross-X mathematisch zwei ganz verschiedene Objekte sind.

Das Gross-X ist eine Zufallsvariable, also eine messbare Abbildung, das Klein-x dagegen ein realisierter Wert dieser ZV X, also $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Gruss yeti

26.02.2007, 19:16

brunsi

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jupp, könntest du auch einmal in den Thread von Breathclaw reinschauen, bei dem es um Ölbohrungen geht und mir erzählen, ob es Bernoulli-Verteuling oder geometrische Verteilung ist??

Gruß brunsi

26.02.2007, 22:46

yeti777

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@brunsi: Gemacht.

Gruss yeti

27.02.2007, 07:21

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@yeti777

Nein, das war hier mal nicht der Grund. $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als Symbol für eine Zahl (statt Zufallsgröße) war an der Stelle schon richtig. Falsch war, dass es dann bei den Bestimmungsgleichungen nicht durch die entsprechenden konkreten Zahlen ersetzt wurde, sondern immer nur wieder $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ geschrieben wurde, obwohl diese $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ dann jeweils für verschiedene Zahlen standen.

Aber richtig ist, dass die Konvention Kleinbuchstabe=Zahl und Großbuchstabe=Zufallsgröße in der Stochastik weit verbreitet ist und gerade dem Anfänger helfen soll, die eine oder andere Gleichung richtig zu lesen und verstehen.

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