Grenzwert finden

19.06.2013, 16:02

Theend9219

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Grenzwert finden

Hallooo
folgende Aufgabe:
Ich soll den Grenzwert bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{tan(x)-x}{x-sin(x)} \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{tan(x)-x}{x-sin(x)} = \frac{-x}{x-sin(x)}+\frac{tan(x)}{x-sin(x)} \end{eqnarray*}$

Und wenn ich da mal die 0 einsetze für x erhalte ich

$\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} + \frac{0}{0} = 0 \end{eqnarray*}$

Aber ich bin mir sicher das das falsch ist .. wie komme ich auf die richtige Lösung?

LG

19.06.2013, 16:04

Theend9219

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RE: Grenzwert finden
Oh fuck da muss ich doch L'hopital nehmen oder? wegen $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$

19.06.2013, 16:12

10001000Nick1

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Ja, l'Hospital funktioniert.

19.06.2013, 16:17

Theend9219

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Okay dann habe ich :

$\begin{eqnarray*} \frac{-1+1+tan^{2}(x)}{1-cos(x)} = \frac{tan^{2}(x)}{1-cos(x)} \end{eqnarray*}$

das bringt mir doch jetzt aber auch nichts weiter..

19.06.2013, 16:25

10001000Nick1

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Jetzt hast du wieder 0/0, also nochmal l'Hospital.

19.06.2013, 16:29

Theend9219

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Alles klar:
Dann habe ich :

$\begin{eqnarray*} \frac{2 \cdot tan(x)(1+tan^{2}x)}{-2 sin(x) cos(x)} \end{eqnarray*}$

LG Shelly Augenzwinkern

Augenzwinkern

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19.06.2013, 16:30

10001000Nick1

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Mit dem Zähler bin ich einverstanden. Aber wie hast du denn den Nenner abgeleitet? verwirrt

verwirrt

19.06.2013, 16:34

Theend9219

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Zitat:

Original von Theend9219

$\begin{eqnarray*} \frac{2 \cdot tan(x)(1+tan^{2}x)}{-2 sin(x) cos(x)} \end{eqnarray*}$

Upps, da war ich mit meinen Gedanken nicht bei mir hihi

$\begin{eqnarray*} \frac{2 \cdot tan(x)(1+tan^{2}x)}{sin(x)} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich doch die 2 als Konstante vor den Limes ziehen, ne?

19.06.2013, 16:34

10001000Nick1

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Jetzt stimmt es.

19.06.2013, 16:39

Theend9219

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$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{tan(x)\cdot (1+tan^{2}(x))}{sin(x)}<br /> \end{eqnarray*}$
so?

19.06.2013, 16:43

10001000Nick1

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Meinst du das?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)-x}{x-\sin(x)}=2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)\cdot (1+\tan^{2}(x))}{\sin(x)}? \end{eqnarray*}$

Dann ist es richtig.
Übrigens fehlt bei dir noch eine Klammer im Zähler.

19.06.2013, 16:47

Theend9219

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Ja, hatte ich ja geschrieben.
Ja das ist mir auch aufgefallen. Ich ändere es jetzt mal.

Also ergibt sich dann $\begin{eqnarray*} 2 \cdot 0 \end{eqnarray*}$ und das wäre ja dann 0... Aber in der Lösung steht, dass 2 rauskommen muss..

19.06.2013, 16:48

10001000Nick1

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Wieso sollte denn $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)\cdot (1+\tan^{2}(x))}{\sin(x)}=0 \end{eqnarray*}$ sein?

19.06.2013, 16:50

Theend9219

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Ich hab einfach mal 0 eingesetzt für x

19.06.2013, 16:51

10001000Nick1

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Und was erhältst du dann im Nenner?

19.06.2013, 16:52

Theend9219

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Halt es ist ja nicht 0... sondern nähert sich 0 an .. also ergibt das 1...

19.06.2013, 16:53

10001000Nick1

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1 ist richtig, aber deine Begründung verstehe ich nicht so ganz...

19.06.2013, 16:55

Theend9219

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Naja ich hatte für die Variable x den Wert 0 eingesetzt.. Aber es ist ja der Grenzwert gegen 0. Hab jetzt mal 0.1 eingesetzt. Also in der Nähe der 0.

19.06.2013, 16:58

10001000Nick1

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Eine Testeinsetzung ist eigentlich kein gutes Mittel zur Grenzwertbestimmung.

Wenn du 0 einsetzt, dürftest du gar nichts rauskriegen. Denn du hast dann 0/0. Kleiner Tipp: Einfach nochmal l'Hospital anwenden.

Das, was du machen wolltest, also 0 einsetzen für x, geht nur bei Funktionen, die an dieser Stelle stetig sind. Da darf man dann einfach 0 einsetzen.

19.06.2013, 17:02

Theend9219

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Ja. Danke
Nochmal zur Wiederholung..
Bei dem gesuchten Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \lim_{x to 0} \frac{sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$
wende ich auch L'Hoptial an und erhalte

$\begin{eqnarray*} \lim_{x to 0} \frac{cos(x)}{1} \end{eqnarray*}$
Und wie schließe ich davon auf den Grenzwert 1 ?

19.06.2013, 17:06

10001000Nick1

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Da $\begin{eqnarray*} \frac{\cos(x)}{1}=\cos(x) \end{eqnarray*}$ an der Stelle 0 stetig ist (sie ist sogar überall stetig), kannst du die 0 einsetzen für x und erhältst dann $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\cos(x)=\cos(0)=1 \end{eqnarray*}$

19.06.2013, 17:09

Theend9219

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Oh sry .. manchmal hilft nachdenken..

Thanks for your help

19.06.2013, 17:09

10001000Nick1

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Bitteschön! Wink

Wink

19.06.2013, 17:15

Mulder

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Kleiner Tipp: Einfach nochmal l'Hospital anwenden.

Na, irgendwann ist aber auch mal gut gewesen mit L'Hospital, oder? Man rechnet sich ja einen Wolf Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac{\tan(x)\cdot (1+\tan^{2}(x))}{\sin(x)}=\frac{1+\tan^2(x)}{\cos(x)} \end{eqnarray*}$

und fertig...

Nach einmaliger Anwendung von L'Hospital hätte man auch schon prima aufhören können:

$\begin{eqnarray*} \frac{\tan^{2}(x)}{1-\cos(x)} = \frac{\tan^{2}(1+\cos(x))}{\sin^2(x)}= \frac{1+\cos(x)}{\cos^2(x)} \end{eqnarray*}$

19.06.2013, 17:20

Theend9219

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Hey Danke Mulder !! Das stimmt...

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