Beweis: Menge aller klassischen Mengen existiert nicht

19.06.2013, 16:31

stairzup

Beweis: Menge aller klassischen Mengen existiert nicht

Meine Frage:
Bei folgender Aufgabe komme ich nicht weiter:
Eine Menge M ist klassisch, wenn sie sich nicht selbst enthält
Also ( $\begin{eqnarray*} M \notin M \end{eqnarray*}$ )

Zeige mittles Widerspruch dass M nicht existieren kann.

Meine Ideen:
Ich habe leider keinen Schimmer wie ich da vorgehen soll.

19.06.2013, 16:39

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis: Menge aller klassischen Mengen existiert nicht
Betrachte die Menge $\begin{eqnarray*} M:= \left\{ A: A \notin A \right\} \end{eqnarray*}$

Nun betrachte die beiden folgenden Fälle und leite daraus eine Widerspruch her :

1. Fall $\begin{eqnarray*} M \in M \end{eqnarray*}$

2. Fall $\begin{eqnarray*} M \notin M \end{eqnarray*}$

20.06.2013, 16:00

stairzup

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
vielen Dank für deine Antwort! Leider werde ich irgendwie daraus nicht schlauer.

Könntest du oder Jemand anderes das vielleicht ein wenig näher erläutern. Irgendwie komme ich mir gerade echt blöd vor Big Laugh

Danke für eure Antworten!

20.06.2013, 16:10

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachten wir einmal den ersten Fall:

$\begin{eqnarray*} M \in M \end{eqnarray*}$ , nun ist M aber die Menge der Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten, also folgt dann $\begin{eqnarray*} M \notin M \end{eqnarray*}$ .

Nun der zweite Fall, der funktioniert ganz ähnlich.....

20.06.2013, 22:27

PeterpanImKeterwahn

Auf diesen Beitrag antworten »

Was weisst du denn schon, also studierst du Mathe und wenn ja in welcheme Semester.
Wenn du schon das erste hinter dir hast, dürftest du aus der Analysis oder Linearen Algebra ein Theorem wie folgendes kennen. Es heißt Cantors Theorem:

Sei X eine Beliebige Menge, dann ist die Potenzmenge von X, in Zeichen P(X), also die Menge aller Teilmengen von X, von größerer Mächtigkeit als X.

Gäbe es nun eine Menge aller Mengen, genannt V, so ist P(V) auch eine Menge.
Dabei gilt dann P(V) ist Element von V.
Aber P(V) ist von größerer Mächtigkeit als V, also kann es keine Teilmenge sein (elementarer Beweis). Widerspruch zur Annahme von der Existenz von V!

20.06.2013, 22:29

PeterpanImKeterwahn

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry hab nur die überschrift gelesen, mein Argument zeigt dass die Allmenge nicht existiert, der über uns hat schon eine gute antwort geliefert

21.06.2013, 14:46

stairzup

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar vielen Dank Freude

- $\begin{eqnarray*} M \in M \end{eqnarray*}$ : Da M aber die Menge der klassischen Mengen ist darf M nicht in M enthalten sein

- $\begin{eqnarray*} M \notin M \end{eqnarray*}$ : M ist nicht Menge der klassischen Mengen, da ja M nicht in M enthalten ist

=> Widerspruch => M kann nicht existieren.

So müsste es dann stimmen oder?

21.06.2013, 17:48

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

- $\begin{eqnarray*} M \in M \end{eqnarray*}$ : Da M aber die Menge der klassischen Mengen ist darf M nicht in M enthalten sein

Diese Begründung hinkt, du sagst, da M klassisch ist, darf sie sich nicht selbst enthalten, das aber ist gerade zu zeigen, ebenso deine andere Ausführung.....

Wir beginnen einmal mit einer Mengendefinition, die auf Cantor zurück geht (Cantors definition war ein wenig anders):

Zu jeder Eigenschaft H der wohlunterschiedenen Objekte unserer Anschauung und unseres Denkens existiert eine Menge M derart, daß für jedes Objekt x gilt:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{x \text{ ist Element von }M}_{x \in M} \text{ genau dann, wenn } \underbrace{x \text{ die Eigenschaft H hat }}_{H\left(x\right)} \end{eqnarray*}$

Nun betrachten wir die Eigenschaft, die oben erwähnt ist, nämlich, dass M sich nicht selbst enthält.

Also die Menge aller Mengen (schließlich sind die Mengen wieder Objekte), die sich nicht selbst enthalten (das ist unsere Eigenschaft).

Also die Menge $\begin{eqnarray*} M:= \left\{ A : A \notin A\right\} \end{eqnarray*}$

Nun betrachten wir den ersten Fall:

$\begin{eqnarray*} M \in M \end{eqnarray*}$ M liegt in M, hat also die Eigenschaft, dass sie sich nicht selbst enthält, und damit liegt M wiederum nicht in M, das ist ein klassischer Widerspruch. (Diese Begründung ist rein logisch)

Der andere Fall funktioniert ganz analog:

$\begin{eqnarray*} M \notin M \end{eqnarray*}$ , nun ist M aber die Menge, in der alle Mengen entahlten sind, die sich nicht selbst enthalten, also liegt M in M, wieder ein Widerspruch.

Jetzt noch flux gefolgert, warum (klassische) Mengen sich nicht selbst enthalten können und die Aufgabe ist erledigt....

Neue Frage »

Antworten »

Beweis: Menge aller klassischen Mengen existiert nicht

Verwandte Themen