LGS lösen: wieso darf ich hier nicht durch (x+1) teilen?

19.06.2013, 20:58

werkheimer

LGS lösen: wieso darf ich hier nicht durch (x+1) teilen?

Hi Forum,

ich hab hier ein Lineares Gleichungssystem (hoffe die Bezeichnung stimmt) wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{x+1}{2x+1} = \frac{x+1}{2x-1} \end{eqnarray*}$

Geplottet sieht das so aus:

http://666kb.com/i/cf338l0ddy09iumir.png

Die einzige Lösung des Gleichungssystems ist also offensichtlich (-1/0).

Wenn das Gleichungssystem aber algebraisch gelöst werden soll, und ich rechne irgendwann im Laufe des Lösungswegs "geteilt durch (x+1)", dann kommt am Ende "0 = 2" raus, also keine Lösung.

Dies scheint damit zusammenzuhängen, dass "geteilt durch (x+1)" im Fall der vorliegenden Gleichung "geteilt durch null" bedeutet, vorausgesetzt man setzt die Lösung der Gleichung (x=-1) in den Term "geteilt durch (x+1)" ein.

Mit anderen Worten, bei der algebraischen Lösung dieser Gleichung darf an keiner Stelle "geteilt durch (x+1)" gerechnet werden, weil die Gleichung sich dann nicht lösen lässt.

Nun ist für mich jedoch die große Frage, woher soll ich im Laufe des Lösungswegs wissen, dass ich ausgerechnet nicht durch "(x+1)" teilen darf?

Denn während des Rechnungswegs kann ich ja noch gar nicht wissen, dass dies gleichbedeutend mit "geteilt durch Null" ist.

Ich hoffe es ist nicht zu verwirrend ausgedrückt.

Ich danke schonmal für alle Tipps oder Hinweise,

Grüße
werkheimer

19.06.2013, 21:08

Theend9219

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RE: LGS lösen: wieso darf ich hier nicht durch (x+1) teilen?
Heey Augenzwinkern

Multipliziere beide Seite mit $\begin{eqnarray*} (2x+1)(2x-1) \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} \frac{x+1}{2x+1}\dot (2x-1)(2x+1) = \frac{x+1}{2x-1} \cdot (2x+1)(2x-1) \end{eqnarray*}$

LG

19.06.2013, 21:13

Iorek

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RE: LGS lösen: wieso darf ich hier nicht durch (x+1) teilen?

Zitat:

Original von werkheimer
Nun ist für mich jedoch die große Frage, woher soll ich im Laufe des Lösungswegs wissen, dass ich ausgerechnet nicht durch "(x+1)" teilen darf?

Denn während des Rechnungswegs kann ich ja noch gar nicht wissen, dass dies gleichbedeutend mit "geteilt durch Null" ist.

Wenn du durch (x+1) divdieren willst, dann musst du eben den Fall x=-1 vorher ausschließen, wenn $\begin{eqnarray*} x\neq -1 \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt wird, kannst du natürlich dividieren (und erhältst dann eben einen Widerspruch).

@Theend9219, das hat doch mit der Frage nichts zu tun...

19.06.2013, 21:15

Mulder

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RE: LGS lösen: wieso darf ich hier nicht durch (x+1) teilen?
Irgendwelche x rauszukürzen ist immer gefährlich, weil du damit Gefahr läufst, Lösungen zu eliminieren. Das solltest du ganz allgemein sein lassen. Lieber nur ausklammern.

$\begin{eqnarray*} x(x-4)=0 \end{eqnarray*}$

zum Beispiel. Wenn du da einfach auf beiden Seiten durch x teilst, erhälst du

$\begin{eqnarray*} x-4=0 \end{eqnarray*}$

Und die Lösung x=0 ist dir verloren gegangen...

Aber du hast schon Recht: Der Knackpunkt ist die Division durch null, die eben nicht erlaubt ist. Was du z.B. machen kannst, ist sowas wie

$\begin{eqnarray*} (x^2+1)(x-4)=0 \end{eqnarray*}$

Hier darfst du durch $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$ teilen, weil $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$ sowieso nicht null werden kann. Da macht das keine Probleme. Aber sowas wie $\begin{eqnarray*} x+1 \end{eqnarray*}$ ... da kommt dann eben so ein Bockmist raus, wie du das jetzt hast. Augenzwinkern

Im Grunde ist deine Division durch x+1 wohl zulässig für alle x ungleich -1. Dann stimmt das ja. Aber für x=-1 geht's eben nicht. Und da genau x=-1 deine Lösung ist, geht dir diese durch diesen unzulässigen Rechenschritt verloren.

Edit: Und ich war mal wieder langsam, langsamer, am langsamsten. Augenzwinkern

19.06.2013, 21:24

werkheimer

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Danke erstmal für eure hilfreichen Antworten.

Ich verstehe es so, wenn ich also durch sowas wie "(x+1)" teile, dann muss ich gleichzeitig "x=-1" ausschließen, bzw. als mögliche weitere Lösung einschließen (oder so ähnlich).

Mir geht es hauptsächlich darum, gibt es eine diesbezügliche Regel (und wo steht die ggf. geschrieben?), dass man beim Lösen von derartigen Gleichungssystemen nicht durch eine der Variablen teilen sollte?

Danke nochmal,
Gruß werkheimer

19.06.2013, 21:35

Iorek

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Zitat:

Original von werkheimer
Mir geht es hauptsächlich darum, gibt es eine diesbezügliche Regel (und wo steht die ggf. geschrieben?), dass man beim Lösen von derartigen Gleichungssystemen nicht durch eine der Variablen teilen sollte?

Ganz einfach: durch 0 teilen verboten. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} x+1 \end{eqnarray*}$ kann nun mal den Wert 0 annehmen, daher muss man das ausschließen. Für $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ kann man dann einsetzen und die Gleichung dafür extra noch kurz überprüfen.

19.06.2013, 22:31

werkheimer

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OK danke!

Also bevor man die Gleichung unvorsichtigerweise durch einen Term mit einer Variablen drin teilt, lieber grundsätzlich alles erst mal ausmultiplizieren und/oder ausklammern (wie von Mulder geraten)?

19.06.2013, 22:37

Iorek

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Immer ausmultiplizieren würde ich nicht sagen, das kann den weiteren Rechenweg deutlich erschweren. Einfach bei der Division aufpassen und entsprechende Fälle kurz explizit nachrechnen.

19.06.2013, 22:40

werkheimer

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O.k. -- also als Regel beim etwaigen Kürzen mit variablen Termen immer den Fall "Term = Null" betrachten und diesen für alle Fälle mal kurz ins Gleichungssystem einsetzen und schauen was passiert?

19.06.2013, 22:52

Iorek

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Ja, so würde ich es in den meisten Fällen machen.

19.06.2013, 23:14

werkheimer

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Dankeschön Wink

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