Laurent-Reihe

19.06.2013, 22:18

12345678

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Laurent-Reihe

Meine Frage:
Hallo!
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-z} \end{eqnarray*}$ soll ich als Laurentreihe um 1 auf
$\begin{eqnarray*} A:=\{z \in \mathbb C: |z|>2\} \end{eqnarray*}$ entwickeln.

Meine Ideen:
Vermutlich muss ich mir eine geometrische Reihe basteln und ausnutzen, dass
$\begin{eqnarray*} |\frac{z}{2}|<1 \end{eqnarray*}$ .
Ich komme auf
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-z} = \frac{-1}{-2+z+1}=<br /> \frac{-1}{(z+1)(1-\frac{2}{z+1})} \end{eqnarray*}$ .
Jetzt hab ich aber das Problem, dass im Allgemeinen nicht gilt
$\begin{eqnarray*} |\frac{-2}{z+1}| < 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z \in A \end{eqnarray*}$ .

20.06.2013, 17:34

Che Netzer

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RE: Laurent-Reihe

Zitat:

Original von 12345678
$\begin{eqnarray*} |\frac{z}{2}|<1 \end{eqnarray*}$ .

verwirrt

Du brauchst eigentlich nur $\begin{eqnarray*} \left\lvert\frac1z\right\rvert<\frac12<1 \end{eqnarray*}$ .
Du musst nicht krampfhaft versuchen, die Zwei aus der Definition von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ miteinzubauen.

20.06.2013, 19:17

12345678

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RE: Laurent-Reihe
ok. hm, stehe aber auf dem schlauch und komme trotzdem nicht drauf, weil auch wenn ich bspw. z ausklammere
(was ich ja vermutlich muss, um auf 1/z zu kommen) klappts nicht:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-z}=\frac{-1}{z(1-\frac{1}{z})} \end{eqnarray*}$ ,
was jetzt zwar als geometrische Reihe darstellbar ist, aber um z und nicht um z+1 oder?

20.06.2013, 19:20

Che Netzer

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RE: Laurent-Reihe
Ach so, ich hatte die Eins aus Versehen erst als Null gewesen, da die Aufgabe dann interessanter wäre.

Schreib den Bruch mal als Potenz.

20.06.2013, 19:25

12345678

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Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-z} = -(z-1)^{-1} = -(z)^{-1}\cdot (1-\frac{1}{z})^{-1} \end{eqnarray*}$

20.06.2013, 19:27

Che Netzer

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Wozu ist denn der letzte Schritt?
Mit $\begin{eqnarray*} -(z-1)^{-1} \end{eqnarray*}$ bist du doch schon fertig.

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20.06.2013, 19:30

12345678

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sorry!! jetzt ist mir klar was du meinst, hab die aufgabe aus versehen falsch aufgeschrieben, so ist sie natürlich trivial, ich wollte als Potenzreihe um die -1 entwickeln! sorry...

23.06.2013, 12:21

12345678

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Will hiermit nicht drängeln oder so, vermute bloß dass ich das nun etwas missverständlich formuliert habe:
Ich hab die Aufgabe hier lediglich falsch reingeschrieben nicht falsch gelesen, die tatsächlich zu lösende Aufagbe ist also, um die -1 zu entwickeln. Hierfür wäre ich weiterhin für Tipps dankbar!
Also wie gesagt, will das jetzt nicht hochpushen, dachte bloß, dass man auch denken könte, dass die eigentliche Aufgabe war um die 1 zu entwickeln und ich die Aufgabe falsch verstanden aber dennoch richtig hingeschrieben habe.

23.06.2013, 12:32

Che Netzer

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Aha

Idee!

Dann findest du allerdings keine Reihenentwicklung, die auf ganz $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ konvergiert.

23.06.2013, 12:34

12345678

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Ah ok, und wie sieht man das bzw. wie zeige ich das?

23.06.2013, 12:37

Che Netzer

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Das Konvergenzgebiet einer Reihenentwicklung darf die Eins nicht treffen, d.h. es ist entweder das Äußere oder das Innere der Kreislinie um $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ mit Radius Zwei (Abstand von $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ zur Eins).

Den inneren Kreis kannst du nicht größer machen und das äußere Gebiet nicht kleiner ohne die Eins zu berühren.

23.06.2013, 12:39

12345678

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ah ok, das wusste ich nicht
wieso ist das so?

23.06.2013, 12:40

Che Netzer

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Weil in Eins eine Singularität vorliegt. Da kann nichts konvergieren...

23.06.2013, 12:48

12345678

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hab das glaube ich noch nicht verstanden, was du damit meinst, dass das Konvergenzgebiet die 1 nicht treffen darf.
Die 1 selbst ist ja nicht drin in A.

23.06.2013, 12:57

Che Netzer

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Ja, aber der Konvergenzbereich ist entweder ein Kreis um $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ohne einen solchen Kreis.

23.06.2013, 13:06

12345678

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Achso, ist das wie mit dem Konvergenzradius von Potenzreihen, das heißt die Konvergenzgebiete sind sind immer Kreisscheiben (auf dem Rand weiß man's a priori nicht. oder hier eben auch möglicherweise das Komplement einer Kreisscheibe?
Und jetzt nehme ich an, dass die Laurentreihe auf A oder einer größeren Menge konvergiert, dann aber insbesondere auch auf $\begin{eqnarray*} B:= \mathbb C \backslash K(-1,1), wobei \ K(-1,1):= \{z \in \mathbb C: |-1-z|\leq1\} \end{eqnarray*}$ , was aber nicht sein kann, da $\begin{eqnarray*} 1 \in B \end{eqnarray*}$ und 1 eine Singularität von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-z} \end{eqnarray*}$ ist?

23.06.2013, 13:15

Che Netzer

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Ja, das hatte ich eben geschrieben Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.06.2013, 13:28

12345678

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danke! wollt's nochmal in eigene Worte fassen um zu sehen ob ichs verstanden hab! smile

smile

eine Frage noch: Du hast gemeint: Das Konvergenzgebiet einer Reihenentwicklung darf die Eins nicht treffen, d.h. es ist entweder das Äußere oder das Innere der Kreislinie um -1 mit Radius Zwei (Abstand von -1 zur Eins).
Sind auch Teilmengen davon möglich, bspw. das äußere der Kreislinie mit Radius 5 um die -1?

23.06.2013, 13:50

Che Netzer

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Nein, der Konvergenzbereich ist immer maximal.

23.06.2013, 14:08

12345678

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ok! vielen Dank!

23.06.2013, 15:03

Emsland

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Damit lautet die "Lösung" hier jetzt, dass es keine Laurententwicklung um -1 gibt - jedenfalls nicht auf A?

23.06.2013, 15:14

Che Netzer

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Zumindest keine, die auf ganz $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ konvergiert.

23.06.2013, 15:24

Emsland

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Sondern auf einem Kreis um -1?

Genau genommen ist das doch dann aber keine Laurentreihe (die doch irgendwie mit einem Kreisring zusammenhängt), sondern einfach eine Potenzreihe?

23.06.2013, 15:26

Che Netzer

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Wir haben hier sozusagen einen entarteten Kreisring, der sich bis ins Unendlich erstreckt.
Für einen echten Kreisring braucht man zwei Singularitäten.

Aber ja, man kann die Funktion entweder auf $\begin{eqnarray*} \lvert z+1\rvert<2 \end{eqnarray*}$ entwickeln (dann hat man eine Potenzreihe, welche ja aber auch eine Laurent-Reihe ist) oder auf $\begin{eqnarray*} \lvert z+1\rvert>2 \end{eqnarray*}$ (hier hat man dann einen Hauptteil).

23.06.2013, 15:38

Emsland

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Wenn man die Laurentreihe in 1 entwickelt [also so, wie hier missverständlicherweise erst gedacht wurde], steht man doch aber genauso vor dem Problem, dass man keine Laurent-Entwicklung auf ganz A findet, denn diese konvergiert doch dann höchstens im Inneren eines Kreises um 1 mit dem Radius 1.

23.06.2013, 15:38

Che Netzer

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Nein, die würde dann auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb C\setminus\{1\} \end{eqnarray*}$ konvergieren.

23.06.2013, 15:43

Emsland

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Ach, stimmt...

Dann insbesondere auch auf A.

Woher weiß man eigentlich wann und wo eine Laurentreihe konvergiert?

Dafür muss man doch die beiden Konvergenzradien (des Haupt- und des Nebenteils) wissen.

Hier hätte man ja eine punktierte Kreisschreibe, und auf dieser ist die Funktion holomorph, dann gibt es eine (eindeutige) Laurentreihe, das ist mir klar. Aber woher weiß man etwas über deren Konvergenz? Oder weiß man darüber wirklich vorher nichts und muss dazu eben die oben erwähnten Konvergenzradien ermitteln?

23.06.2013, 15:50

Che Netzer

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Der Konvergenzbereich ist immer ein Kreisring/eine Kreisscheibe (gelegentlich auch bis ins Unendliche erstreckt), ohne dabei die Singularitäten zu treffen.
Um den Entwicklungspunkt kann man sich z.B. Kreise malen, deren Radius den Abständen zu den Singularitäten entspricht.
Zu allen so entstehenden Kreisringen (o.ä.) kann man eine Entwicklung finden, die dort konvergiert.

23.06.2013, 15:52

Emsland

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Ich werde dazu mal eine Aufgabe suchen (zum Üben) und die dann posten [nicht in diesem Thread].

Danke.

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