Maximum-Likelihood-Schätzung

20.06.2013, 09:18	Müh01	Auf diesen Beitrag antworten »
Maximum-Likelihood-Schätzung Hallo! Sei p Wahrscheinlichkeit, mit bestimmten Würfel eine 6 zu würfeln. Um p zu ermitteln wird drei mal hintereinander jeweils so lange gewürfelt, bis zum ersten mal 6 erscheint. Beim ersten mal waren 4 Würfe, beim zweiten mal 6 und beim dritten mal 11 Würfe erforderlich. Bestimme Max-Likelihood-Schätzer des Parameters p. Es geht hier doch um eine Bernoulliverteilung oder? Weil entweder habe ich Erfolg (würfle eine 6) mit der Wahrscheinlichkeit p oder ich habe keinen Erfolg (würfle keine 6) mit der Wahrscheinlichkeit (1-p). Dies ergibt mir $\begin{eqnarray} L(p)=p^3(1-p)^{18} \end{eqnarray*}$ jetzt muss ich dann noch maximieren, wobei mir klar ist wie das funktioniert. Bin mir nur nicht sicher ob ich hier den richtigen Ansatz verwende. Mich irritiert, dass immer nur so lange gewürfelt wird, bis eine 6 erscheint. Danke schonmal für die Hilfe! Lg
20.06.2013, 09:55	Bartolomeo	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Zufallsexperimente sind geometrisch verteilt zum unbekannten Parameter p. Ich empfehle, zunächst den Maximum-Likelihood-Schätzer für allgemeines n (Anzahl der ZE) zu ermitteln. Formal sei also die Likelihood-Funktion: $\begin{eqnarray} L(p)=\prod _{i=1}^n (1-p)^{x_i-1} p=p^n (1-p)^{\sum _{i=1}^n x_i-n} \end{eqnarray}$ Die Log-Likelihood-Funktion ergibt sich nun zu: $\begin{eqnarray} l(p)=n \ln(p)+(\sum _{i=1}^n x_i-1)\ln (1-p) \end{eqnarray}$ Die nächsten Schritte sollten klar sein.
20.06.2013, 10:29	Bartolomeo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich korrigiere: $\begin{eqnarray} l(p)=n \ln(p)+(\sum _{i=1}^n x_i-n)\ln (1-p) \end{eqnarray}$
20.06.2013, 10:47	Müh01	Auf diesen Beitrag antworten »
aaaaahhhh oke alles klar dankeschön

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