Extremwertproblem

20.06.2013, 09:42

Baxxel

Auf diesen Beitrag antworten »

Extremwertproblem

Meine Frage:
Ein Unternehmen erzieht einen Absatz von x [ME] eines beliebigen teilbaren Gutes X einen Gewinn von

G(x) $\begin{eqnarray*} 2x^{2} e^{-x/31} \end{eqnarray*}$ [GE]

Das Gut kann zumindestens theoretisch in unbegrenzter Menge hergestellt werden . EIn Ökonom wir beauftrag den höchstmöglichen Gewinn Gmax und die zugehörige Absatzmenge Xopt zu ermitteln.
Er findet heraus, dass der Gewinn gegen Null tendiert wenn die Absatzmenge unendlich groß wird.
Führen sie seine Überlegungen fort.

Meine Ideen:
Ich habe ja bereits die Gewinnfunktion gegeben und weiß das diese nie Null wird also belibt das Unternehmen immer profitabel. Da ja nie eine Gewinnschwelle erreicht wird also kann ich es mir ja sparen die Gewinnfunktion null zu setzen.
Daher setzte ich direkt die Ableitung der Gewinnfunktion Null
um den Betreibsoptimalen Output heraus zu bekommen.
$\begin{eqnarray*} 2x^{2} e^{-x/31} \end{eqnarray*}$
Also die Ableitung ist
$\begin{eqnarray*} (4x*e^{-x/31}) *-x/31e^{-x/31} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4x*e^{-x/31} *-x/31e^{-x/31} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (4x* -x/31)(e^{-x/31}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (4x* -x/31) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4x* -x/31=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x* (-4/31)=0 \end{eqnarray*}$

So nun habe ich versucht es zu vereinfachen, bin mir allerdings ziemlich unsicher.
Da ich eine Möglichkeit sehe ein sinvolles Ergebis heraus zu bekommen.
Wäre echt cool wenn sich dies jemand mal anschauen könnte.

20.06.2013, 09:57

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertproblem
Du hast da offenbar die Produktregel

(uv)'=u'v+uv'

- hier mit u=2x² und v=exp(-x/31) - total falsch (wenn überhaupt?) angewandt... geschockt

geschockt

20.06.2013, 09:58

alterHund

Auf diesen Beitrag antworten »

ich sehe keine Anwendung der Produktregel

20.06.2013, 10:57

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von alterHund
ich sehe keine Anwendung der Produktregel

Ich würde die Möglichkeit, dass er/sie die Produktregel nur falsch angewandt hat, nicht von vorneherein ausschließen... Big Laugh

Big Laugh

20.06.2013, 11:07

Baxxel

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay hab ich mich ja total verhauen....hab die Kettenregel benutzt ....
$\begin{eqnarray*} (4x*e^{-x/31}) +2x^{2}*(-x/31e^{-x/31}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (4x+2x^{2}*(-x/31))*(e^{-x/31}) \end{eqnarray*}$

so Jetzt müsste die Ableitung stimmen und e darf ich hier doch auch ausklammern...

leider komme ich nun auch nicht weiter.... traurig

traurig

20.06.2013, 11:17

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Leider hast du schon wieder eine Regel falsch angewandt, diesmal ist es zur Abwechslung die Kettenregel, wo du dich bei der inneren Ableitung geirrt hast... geschockt

geschockt

Anzeige

20.06.2013, 11:24

Baxxel

Auf diesen Beitrag antworten »

okay habe doch noch eine Idee ich habe nun x ausgeklammert

$\begin{eqnarray*} 4+2x*(-1/31)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-2/31)*x= -4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 60 \end{eqnarray*}$

20.06.2013, 11:26

Baxxel

Auf diesen Beitrag antworten »

nene ich meinte ich habe zuerst die Kettenregel angwandt..... jetzt habe ich es mit der Produktregel gemacht ist die denn auch wieder falsch wo habe ich mich denn da verhauen geschockt

geschockt

20.06.2013, 11:30

Baxxel

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} (4x*e^{-x/31}) +2x^{2}*(-x/31e^{-x/31}) \end{eqnarray*}$

f´* g + f * g´

oder?

20.06.2013, 11:37

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Baxxel
Okay hab ich mich ja total verhauen....hab die Kettenregel benutzt ....
$\begin{eqnarray*} (4x*e^{-x/31}) +2x^{2}*(-x/31e^{-x/31}) \end{eqnarray*}$

Wie gesagt, die "innere Ableitung" von $\begin{eqnarray*} e^{-x/31} \end{eqnarray*}$ ist hier falsch, die Produktregel hast du an sich richtig angewendet... Und ein "Kürzen" durch x, so wie du es dann weiter machst ist überhaupt streng verboten: Damit gehen immer mögliche Lösungen verloren... geschockt

geschockt

20.06.2013, 11:37

alterHund

Auf diesen Beitrag antworten »

statt -x/31 muß dort (-1/31) stehen, nämlich
die innere Ableitung von e^(-x/31)
also die Ableitung von -x/31

20.06.2013, 11:56

Baxxel

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 4+2x^{2} *(-1/31)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x(-2x^{2}/31)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2}-62x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x1 = 62 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x2=0 \end{eqnarray*}$

Ist dies nun richtig?

20.06.2013, 12:08

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Baxxel
$\begin{eqnarray*} 4\textcolor{red}x+2x^{2} *(-1/31)=0 \end{eqnarray*}$

Mir scheint du hast da ein x vergessen... geschockt

geschockt

20.06.2013, 12:21

Baxxel

Auf diesen Beitrag antworten »

jop das habe ich vergessen aber in der nächsten Zeile sthet es ja wieder
aber ansonsten ist es richtig ?

$\begin{eqnarray*} 4x+2x^{2} *(-1/31)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x+(-2x^{2}/31)( \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2}-62x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x1 = 62 x2=0 \end{eqnarray*}$

Also ist Xopt=62 und Gmax= G(62)

20.06.2013, 12:32

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

In der nächsten Zeile steht

Zitat:

Original von Baxxel
$\begin{eqnarray*} 4x(-2x^{2}/31)=0 \end{eqnarray*}$

also das Produkt von $\begin{eqnarray*} 4x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -2x^2/31 \end{eqnarray*}$ ... Aber ja, irgendwie bist du nach diesen beiden groben Fehlern wieder auf wundersame Weise auf die richtige Spur gekommen und die beiden Lösungen stimmen dann... Du muss allerdings jetzt noch herausfinden, aber da auch Maxima dabei sind...

20.06.2013, 12:37

Baxxel

Auf diesen Beitrag antworten »

habe falsch abgeschrieben von meinem Papier....komme noch nicht ganz so gut mit Latex klar.
Was muss ich denn jetzt noch herausfinden? Verstehe nicht ganz was du meinst die 0 kann ich ja ausschließen da der Gewinn hier ja Null wäre so ist doch 62 der einzig mögliche Punkt.

20.06.2013, 12:49

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da die Funktion ersichtlich nur nichtnegative Werte hat, ist x=0 sicher ein absolutes Minimum und vermutlich ist bei x=62 dann ein Maximum... Ich könnte mir aber gut vorstellen, dass der Aufgabensteller will, dass man dies über die hinreichende Bedingung G''(62)>0 herausfindet...

20.06.2013, 18:35

Baxxel

Auf diesen Beitrag antworten »

okay habe ich nun auch Überprüft...Ergbnis passt.
Dieses Thema kann geschlossen werden.
Nochmal ganz großes Dankeschön für die Hilfe hat mir wirklich geholfen. smile

smile

20.06.2013, 22:40

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Baxxel
okay habe ich nun auch Überprüft...Ergbnis passt.

Naja, tatsächlich ist G''(62)<0, aber das ist auch gut so, denn ich hatte mich oben verschrieben und die hinreichende Bedingung für ein Maximum sieht in Wahrheit so aus... Wink

Wink

21.06.2013, 14:26

Baxxel

Auf diesen Beitrag antworten »

okay mir ist doch noch eine Frage dazu eingefallen in der aufgabe Steht ja auch ich soll Gmax bestimmen.
Dazu setze ich ja einfach xopt in G ein Also G(62)= $\begin{eqnarray*} 2*62^{2}*e^{-62/31}= 7688*e^{-2} \end{eqnarray*}$
ist dies dann nun mein Gmax? Da Wir in unsren Klausuren nur einen euro rechner verwenden dürfen.

21.06.2013, 15:27

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn du das so unausgerechnet stehen lassen darfst, dann passt das so...

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »