Ist mein Beweis zu Z(G) in H richtig ?

20.06.2013, 10:51

Nougat

Ist mein Beweis zu Z(G) in H richtig ?

Hallo,

bzgl. folgendem Thread hab ich nun doch noch eine Frage

Normale Untergruppen - Primzahlordnung

Ist folgender Beweis für $\begin{eqnarray*} Z(G)\subset H \end{eqnarray*}$ richtig?

Wir haben: G sei eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} p^3, H\subset G \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ (--> H ist abelsch), Z(G) das Zentrum von G mit Ordnung p.

Annahme: $\begin{eqnarray*} Z(G) \not\subset H \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} x\in Z(G) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\notin H \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall y \in G : xy=yx. \end{eqnarray*}$
Da aber $\begin{eqnarray*} x\notin H \end{eqnarray*}$ , muss $\begin{eqnarray*} x \in G-H \end{eqnarray*}$ gelten
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\notin H \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in Z(G) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \underline{\Rightarrow} G=H \times Z(G) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ G abelsch, da direktes Produkt zweier abelscher Gruppen
Widerspruch. $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Behauptung

Ich bin mir jetzt nicht sicher, ob die unterstrichene Implikation tatsächlich gilt.
Es wäre toll, wenn da jemand mal drüber schauen könnte.
Danke schöön
LG
Nougat

20.06.2013, 11:09

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ist mein Beweis zu Z(G) in H richtig ?
Dieser eine Punkt hat mit dem Zentrum Z(G) eigentlich gar nichts zu tun... Ist nämlich H eine maximale Untergruppe der endlichen p-Gruppe G und U irgendeine Untergruppe der Ordnung p von G, welche nicht in H enthalten ist, so ist ja G stets das (innere) direkte Produkt von H und U...

20.06.2013, 11:11

Nougat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ist mein Beweis zu Z(G) in H richtig ?
Ja, das klingt logisch, vielen Dank!

20.06.2013, 11:40

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ist mein Beweis zu Z(G) in H richtig ?

Zitat:

Original von Mystic
Ist nämlich H eine maximale Untergruppe der endlichen p-Gruppe G und U irgendeine Untergruppe der Ordnung p von G, welche nicht in H enthalten ist, so ist ja G stets das (innere) direkte Produkt von H und U...

Wieso sollte das gelten? verwirrt

Sei $\begin{eqnarray*} G=D_8 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} H=\langle (1234)\rangle \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U=\langle (24)\rangle \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} G\neq H\times U \end{eqnarray*}$ .

Gruß
Reksilat

20.06.2013, 11:43

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ist mein Beweis zu Z(G) in H richtig ?
Ja, muss man leider wieder auf die momentane Hitze hier zurückführen... unglücklich

Natürlich müssen dafür H und U beide Normalteiler sein...

20.06.2013, 12:18

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Man sollte hier lieber den Normalisator von H betrachten. Der enthält natürlich H und das Zentrum.

20.06.2013, 13:20

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmo
Man sollte hier lieber den Normalisator von H betrachten. Der enthält natürlich H und das Zentrum.

Ja genau, wenn man G durch den Normalisator von H in G ersetzt, würde dann mit U=Z(G) alles passen... Augenzwinkern

20.06.2013, 17:16

Nougat

Auf diesen Beitrag antworten »

Damit der Beweis jetzt richtig wuerde, muesste ich schon wissen, dass H normal in G ist, oder sehe ich das falsch?
Denn dann waere ja grade der Normalisator von H schon G selbst.

Kann ich das auch ohne die Normalitaet zeigen (also zB ueber Kontraposition) ?

20.06.2013, 17:18

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

In dem erwähnten Thread wollten wir ja zeigen, dass H Normalteiler ist.

Wenn jetzt H jedoch das Zentrum nicht enthält, dann ist der Normalisator von H echt größer als H. Also ist der Normalisator ganz G. Dann ist H Normalteiler und es ist eh nichts mehr zu zeigen.

20.06.2013, 17:33

Nougat

Auf diesen Beitrag antworten »

Jaa... gut, das hilft mir bei der Normalitaet weiter

Aber das sagt mir jetzt trotzdem nicht, dass das Zentrum eine Untergruppe von H ist...
Und das brauch ich in spaeteren Ueberlegungen noch ...

Wenn ich mir das nun mit Kontaposition ueberlegen will, kann ich ja zeigen: $\begin{eqnarray*} x\notin H \Rightarrow x \notin Z(G) \end{eqnarray*}$

Also nehme ein $\begin{eqnarray*} x\notin H \end{eqnarray*}$ , also kann man ein $\begin{eqnarray*} y\in H \end{eqnarray*}$ finden, sodass $\begin{eqnarray*} xy\neq yx \end{eqnarray*}$ , somit ist $\begin{eqnarray*} x\notin Z(G) \end{eqnarray*}$ .

Stimmt das so?

20.06.2013, 17:54

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist H normal und dann stimmt doch das, was Mystic geschrieben hat.

$\begin{eqnarray*} H \times Z(G) \to G, (h,z) \mapsto hz \end{eqnarray*}$ ist dann ja ein Iso.

Nochmal eine Zusammenfassung:
Die Normalteilereigenschaft von beiden Faktoren braucht man ja dafür, dass sie miteinander kommutieren (sonst ist es kein Homomorphismus). Aber das ist hier ja eh gegeben, da der eine Faktor das Zentrum ist.

Also brauchst du die Normalität von H eigentlich nicht. Man kriegt sie aber "auf dem Weg" sowieso geschenkt. Doppelt hält besser smile

21.06.2013, 07:26

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmo
Nochmal eine Zusammenfassung:
Die Normalteilereigenschaft von beiden Faktoren braucht man ja dafür, dass sie miteinander kommutieren (sonst ist es kein Homomorphismus). Aber das ist hier ja eh gegeben, da der eine Faktor das Zentrum ist.

Also brauchst du die Normalität von H eigentlich nicht. Man kriegt sie aber "auf dem Weg" sowieso geschenkt. Doppelt hält besser smile

In letzter Konsequenz braucht man also, dass

1. H eine maximale Untergruppe von G ist
2. U eine nichttriviale Untergruppe von G ist, die im Zentralisator von H liegt, aber mit H nur das Einselement e gemeinsam hat

um beweisen zu können, dass G das (innere) direkte Produkt von H und U ist... Wenn so wie hier |U|= p ist, dann ist 2. genau dann erfüllt, wenn $\begin{eqnarray*} U \not \subseteq H \end{eqnarray*}$ ... Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Ist mein Beweis zu Z(G) in H richtig ?

Verwandte Themen