Irreduzibel in Q[X]

20.06.2013, 12:14

Theend9219

Irreduzibel in Q[X]

Hallo!

Ich habe folgende Frage:

Wie zeige ich :
$\begin{eqnarray*} X^{4} -10X^{2}+1 \end{eqnarray*}$ ist irreduzibel in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ ?

Also meine einzige Idee ist:
Das Polynom hat ja offenbar Nullstellen, somit auch lineare Faktoren. Und vom es ist vom Grad 4.
.,. Und nun ?

LG Shelly

20.06.2013, 12:17

Mystic

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RE: Irreduzibel in Q[X]

Zitat:

Original von Theend9219
Also meine einzige Idee ist:
Das Polynom hat ja offenbar Nullstellen, somit auch lineare Faktoren.

Leider ist auch diese - nach eigenen Worten einzige - Idee total falsch... unglücklich

Jede rationale Nullstelle müsste hier sogar ganz und Teiler von 1 sein... Diese Fälle führen aber zu keiner Nullstelle, wie man leicht überprüfen kann...

20.06.2013, 12:20

Mulder

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RE: Irreduzibel in Q[X]
Klick

20.06.2013, 12:21

lgrizu

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RE: Irreduzibel in Q[X]
Ja, hat es tatsächlich Nullstellen in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ?

...Wenn es diese hätte, dann wäre es nicht mehr irreduzibel.....

Ein Satz aus der Algebra besagt:

"Hat ein normiertes Polynom mit Koeffizienten aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ Nullstellen über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , so sind diese bereits aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ undTeiler des Absolutgliedes."

Die Teiler sind schnell überprüft, also keine Nullstellen über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

Zu prüfen ist dann noch, ob es vielleicht in zwei Polynome vom Grad 2 zerfällt......

Edit: zu spät....

20.06.2013, 12:33

Theend9219

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RE: Irreduzibel in Q[X]
Hey ! ;D
Danke für eure schnelle Hilfe .. Ich hab es mal genauso gemacht wie bei dem "KLICK-Thread"
Es gilt zu prüfen, ob $\begin{eqnarray*} X^{4}-10X^{2}+1 \end{eqnarray*}$ irreduzibel in $\begin{eqnarray*} Q[X] \end{eqnarray*}$ ist.
Dabei genügt es der Ansatz:
$\begin{eqnarray*} X^{4}-10X^{2} +1 = (X^{2}+aX \pm 1)(X^{2} +bX \pm 1) \end{eqnarray*}$ Koeffizient bei
$\begin{eqnarray*} X^{3}: 0 = a+b \end{eqnarray*}$ Koeffizient bei $\begin{eqnarray*} X^{2}: -10 = \pm 2 + ab \end{eqnarray*}$ In den jeweiligen Fällen (+ oder -) folgt sofort, dass 12 bzw. 8 Quadratzahlen sind. Widerspruch!

Eine Frage bleibt mir noch .. Warum untersucht man bei dem Koeffizientenvergleich nicht auch den Fall $\begin{eqnarray*} X^{1} \end{eqnarray*}$ ?

LG

20.06.2013, 12:40

Mystic

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RE: Irreduzibel in Q[X]

Zitat:

Original von Theend9219
Eine Frage bleibt mir noch .. Warum untersucht man bei dem Koeffizientenvergleich nicht auch den Fall $\begin{eqnarray*} X^{1} \end{eqnarray*}$ ?

Zum einen hat man ja bereits ohne diesen Fall den erhofften Widerspruch, zum anderen führt das auch nur auf a+b=0, was man eh schon weiß...

20.06.2013, 13:03

Theend9219

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RE: Irreduzibel in Q[X]
Ja das stimmt ... Danke !..

20.06.2013, 13:06

Theend9219

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RE: Irreduzibel in Q[X]
Ich möchte jetzt keinen neuen Thread aufmachen, da die kommende Frage ähnlich ist.

Zeigen Sie dass
$\begin{eqnarray*} X^{3}+X^{2}+1 \end{eqnarray*}$ irreduzibel in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{2}[X] \end{eqnarray*}$

Was ist denn $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{2}[X] \end{eqnarray*}$ .. Und muss ich hier jetzt auch einen Koeffizientenvergleich machen?

20.06.2013, 13:15

Mystic

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RE: Irreduzibel in Q[X]

Zitat:

Original von Theend9219
Zeigen Sie dass
$\begin{eqnarray*} X^{3}+X^{2}+1 \end{eqnarray*}$ irreduzibel in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{2}[X] \end{eqnarray*}$

Das hier ist total anders denn ein redzibles Polynom vom Grad 3 müsste auch einen Linearfaktor und damit Nullstellen über dem zugrundeliegenden Körper, hier also $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ haben...

20.06.2013, 13:28

Theend9219

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RE: Irreduzibel in Q[X]
Dankeschön ... Dann probiere ich doch mal die Nullstellen.

$\begin{eqnarray*} X^{3}+X^{2} +1 = X(X^{2}+X+\frac{1}{X}) \end{eqnarray*}$

Ein Produkt wird dann 0, wenn einer ihrer Faktoren $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ wird. Also ist $\begin{eqnarray*} X_{1} \end{eqnarray*}$ schon mal 0.

$\begin{eqnarray*} X^{2}+X+\frac{1}{X}= 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X^{2}+X = - \frac{1}{X} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = X^{3}+X^{2} -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = X(X^{2}+X-\frac{1}{X}) \end{eqnarray*}$

Und dann bin ich in einer endlosschleife hihi
...

hoffe jemand kann mir helfen ..

20.06.2013, 13:36

Mulder

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RE: Irreduzibel in Q[X]

Zitat:

Original von Theend9219
$\begin{eqnarray*} X^{3}+X^{2} +1 = X(X^{2}+X+\frac{1}{X}) \end{eqnarray*}$

Ein Produkt wird dann 0, wenn einer ihrer Faktoren $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ wird. Also ist $\begin{eqnarray*} X_{1} \end{eqnarray*}$ schon mal 0.

Dieser Schritt ist ehrlich gesagt ein ziemliches Fiasko. Setz mal in den Ursprungsterm (also bevor du ausgeklammert hast) 0 ein. Kommt da wirklich 0 raus? Und in den Term

$\begin{eqnarray*} X(X^{2}+X+\frac{1}{X}) \end{eqnarray*}$

0 einsetzen ist ja wohl etwas problematisch... schließlich teilst du jetzt in der Klammer durch 0. Außerdem bist du in einem Polynomring! Da solltest du auch bleiben! Sprich diese ganze Zerlegung ist gar nicht zulässig.

Irgendwelche Potenzen von x auszuklammern bringt ganz allgemein rein gar nichts, wenn die Funktion auch ein Absolutglied (also einen konstanten Summanden, in dem kein x vorkommt) hat.

Du bist doch in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ , dieser Körper besteht nur aus zwei Elementen. Diese beiden Elemente einsetzen und gucken, ob 0 rauskommt.

Diese ganze Aufgabe ist in 5 Sekunden zu bewältigen. Augenzwinkern

20.06.2013, 13:44

Theend9219

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RE: Irreduzibel in Q[X]
Hey Mulder! Augenzwinkern

Das Problem ist ich nicht weiß was ich mir unter \mathbb F vorzustellen habe ! Big Laugh

Das hatte ich auch am Anfang gesagt und das hab ich jetzt noch nirgends finden können hihi

Also wenn ich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ einsetze dann hab ich
$\begin{eqnarray*} 0+0+1 = 1 \end{eqnarray*}$

Also die 2 bei $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{2} \end{eqnarray*}$ steht für die Primzahlpotenz .. Und enthält die Elemente 0 und 1 ..
Dann setz ich doch mal 1 ein ..
$\begin{eqnarray*} 1+1+1= 3 \end{eqnarray*}$

LG

20.06.2013, 13:46

Mulder

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RE: Irreduzibel in Q[X]
Das ist halt der Körper, der nur die 0 und die 1 enthält. Einen noch einfacheren Körper kann man doch gar nicht finden.

Und in diesem gilt $\begin{eqnarray*} 1+1=0 \end{eqnarray*}$ .

20.06.2013, 13:49

Theend9219

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RE: Irreduzibel in Q[X]
Und
$\begin{eqnarray*} 0+0 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0+1 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1+0 = 1 \end{eqnarray*}$

hhi
also wenn ich 1 einsetze
$\begin{eqnarray*} 1^{3}+1^{2}+1 = (1+1)+1 = (0)+1 = 1 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} 0 + 0 +1 = 0+1 = 1 \end{eqnarray*}$

so?

20.06.2013, 13:50

Mulder

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RE: Irreduzibel in Q[X]
Ja.

Was sagt uns das nun?

20.06.2013, 13:58

Theend9219

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RE: Irreduzibel in Q[X]
Das sagt uns das das irreduzibel über den endlichen Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{2} \end{eqnarray*}$ ist
ja?

20.06.2013, 13:59

Mulder

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RE: Irreduzibel in Q[X]
Ja.

20.06.2013, 14:15

Theend9219

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RE: Irreduzibel in Q[X]
Dankeschön Augenzwinkern

Und nun noch eine letzte hihi

$\begin{eqnarray*} F_{2}[X]/(X^{3}+X^{2}+1) \end{eqnarray*}$ ist ein Körper mit acht Elementen. Geben Sie die Elemente dieses Körpers an.

offenbar also aus $\begin{eqnarray*} 2^{3} \end{eqnarray*}$ Elementen ...
Wie kann ich die Elemente bestimmen?

LG

20.06.2013, 14:17

Mulder

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RE: Irreduzibel in Q[X]
Indem du die Restklassen bestimmst. Überleg dir mal für alle Restklassen einen einfachen Repräsentanten.

Welcher Rest kann denn bei Division durch das Polynom X^3+X^2+1 verbleiben?

20.06.2013, 14:27

Theend9219

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RE: Irreduzibel in Q[X]
Ich bezeichne jetzt $\begin{eqnarray*} (X^{3}+X^{2}+1) \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} p(X) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{F_{2}[X]}{p(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 mod p(x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 mod p(x) = 1 \end{eqnarray*}$ also da bin ich mir unsicher

20.06.2013, 14:31

Mulder

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RE: Irreduzibel in Q[X]
verwirrt

Zitat:

Original von Mulder
Welcher Rest kann denn bei Division durch das Polynom X^3+X^2+1 verbleiben?

Darauf solltest du dich mal konzentrieren. Vor allem: Welchen Grad kann der Rest haben?

Da schau noch mal in deine Unterlagen, wie die Division mit Rest im Polynomring erklärt ist.

20.06.2013, 14:38

Theend9219

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RE: Irreduzibel in Q[X]
Bei der Division mit Rest für Polynome muss das als Divisor auftretende Polynom $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ aus dem Polynomring $\begin{eqnarray*} R \lfloor x \rfloor \end{eqnarray*}$ eine Vorraussetzung erfüllen: Der Leitkoeffizient von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ muss eine Einheit von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ sein (insbesondere ist $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ nicht das Nullpolynom). Unter dieser Bedingung gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} g(x) \in R[x] \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmte Polynome $\begin{eqnarray*} q(x), r(x) \in R[x] \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} g(x) = q(x)f(x)+r(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} grad(r) < grad(f) \end{eqnarray*}$

Muss ich nun auch Polynomdivision machen? ;D

LG

20.06.2013, 14:42

Mulder

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RE: Irreduzibel in Q[X]

Zitat:

Original von Theend9219
[...] und $\begin{eqnarray*} grad(r) < grad(f) \end{eqnarray*}$

Das ist der Punkt.

Wieviele Polynom vom Grad kleiner 3 gibt es denn in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2[X] \end{eqnarray*}$ ? Schreib alle hin und du bist fertig.

20.06.2013, 14:50

Theend9219

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RE: Irreduzibel in Q[X]
Polynome vom Grad kleiner als 3 in $\begin{eqnarray*} F_{2}[X] \end{eqnarray*}$ ...
mh ich weiß nicht ...das Polynom das ich habe mein " $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ " ist ja grad 3...

20.06.2013, 15:04

Mulder

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RE: Irreduzibel in Q[X]
Du solltest es eigentlich schaffen können, dir die konstanten Polynome, diejenigen vom Grad 1 und diejenigen vom Grad 2 hinzuschreiben, die es in F2 so gibt.

Die konstanten sind gerade f=0 und g=1. Mehr gibt's nicht.

Grad 1 und 2 sind deine Aufgabe.

20.06.2013, 15:14

Theend9219

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RE: Irreduzibel in Q[X]
$\begin{eqnarray*} X^{2} + X + 1 \end{eqnarray*}$ wäre ein Polynom vom Grad kleiner als $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} F_{2} \end{eqnarray*}$
dann ja eigendlich auch
$\begin{eqnarray*} X^{2}+X \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X^{2}+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X^{2} \end{eqnarray*}$

Für die quadratischen Polynome ..

für die konstanten Polynome
$\begin{eqnarray*} X^{0}+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X^{0} \end{eqnarray*}$

und für die von Grad 1

$\begin{eqnarray*} X^{1}+X+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X^{1}+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X^{1} \end{eqnarray*}$

so?

20.06.2013, 15:18

Mulder

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RE: Irreduzibel in Q[X]

Zitat:

Original von Theend9219
$\begin{eqnarray*} X^{2} + X + 1 \end{eqnarray*}$ wäre ein Polynom vom Grad kleiner als $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} F_{2} \end{eqnarray*}$
dann ja eigendlich auch
$\begin{eqnarray*} X^{2}+X \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X^{2}+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X^{2} \end{eqnarray*}$

Ja. Mehr gibt's nicht.

Zitat:

Original von Theend9219
für die konstanten Polynome
$\begin{eqnarray*} X^{0}+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X^{0} \end{eqnarray*}$

Nein. X^0 wäre doch 1.

Einfach nur 0 und 1, wie ich dir schon hingeschrieben habe.

Zitat:

Original von Theend9219
und für die von Grad 1

$\begin{eqnarray*} X^{1}+X+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X^{1}+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X^{1} \end{eqnarray*}$

X^1 ist dasselbe wie X. Und X+X ist 0. Das erste Polynom also rausschmeißen. Denn das wäre wieder das konstante Polynom g=1 und das hast du oben schon.

Und dann hast du deine 8 Polynome beisammen.

20.06.2013, 15:26

Theend9219

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RE: Irreduzibel in Q[X]
Vielen lieben Dank Augenzwinkern

Du hast mir sehr geholfen.

20.06.2013, 15:28

Mulder

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RE: Irreduzibel in Q[X]
Denk dran, dass du das Ganze auf Ebene der Restklassen notieren musst. Wir sind ja in einem Restklassenring (der in diesem Fall eben ein Körper wird, weil 8 eine Primzahlpotenz ist). Wir haben ja jetzt nur jeweils einen Repräsentanten gefunden.

20.06.2013, 15:38

Theend9219

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RE: Irreduzibel in Q[X]
Tut mir leid das verstehe ich jetzt leider nicht .. auch wenn es vielleicht von Dir schon einfach beschrieben ist ..Was gilt es jetzt noch zu notieren?
LG

Tut mir leid =( Ich hatte auch gegoogelt aber irgendwie nichts verständliches gefunden ..

20.06.2013, 15:43

Mulder

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RE: Irreduzibel in Q[X]
Du hast jetzt herausgefunden, dass es acht verschiedene "Reste" bei Division durch x^3+x^2+1 geben kann. Zu diesen Resten gehört jeweils immer eine ganze Restklasse. Schließlich ist z.B. g=1 nicht das einzige Polynom, das bei Division durch x^3+x^2+1 den Rest 1 lässt. Auch z.B. x^3+x^2 lässt bei Division durch x^3+x^2+1 den Rest 1 in F2[x], dieses Polynom liegt also in der selben Restklasse und unendlich viele weitere ebenfalls. Genauer

$\begin{eqnarray*} \overline 1 = \{ 1+ (x^3+x^2+1) g \, | \, g \in \mathbb F_2[x] \} \end{eqnarray*}$

so sieht z.B. diese eine Restklasse aus.

20.06.2013, 15:51

Theend9219

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RE: Irreduzibel in Q[X]
Achsooo.. Und jetzt gilt es noch die für f=0 anzugeben?

20.06.2013, 16:01

Mulder

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RE: Irreduzibel in Q[X]
Naja, das muss man für alle 8 Polynome machen. Es muss halt von der Notation her eben geklärt werden, dann reicht eigentlich sowas wie

$\begin{eqnarray*} \overline 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \overline 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \overline{x+1} \end{eqnarray*}$ usw...

Oder wie auch immer ihr Restklassen halt üblicherweise notiert.

Aber das muss man eben schon irgendwie als Restklasse kenntlich machen. Damit für den Leser ersichtlich wird, dass du weißt, was du tust. Augenzwinkern

20.06.2013, 16:09

Theend9219

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RE: Irreduzibel in Q[X]
Danke für deine Antwort.
Ich verstehe was du meinst. Jedoch tue ich mich schwer die Restklasse aufzustellen.
Warscheinlich muss ich da so vorgehen:
$\begin{eqnarray*} \overline {0}=\left\{ ...\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overline {X^{2}+X+1}=\left\{ ...\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overline {X^{2}+X}=\left\{ ...\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overline {X^{2}+1}=\left\{ ...\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overline {X^{2}}=\left\{ ...\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overline {X^{1}+1}=\left\{ ...\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overline {X^{1}}=\left\{ ...\right\} \end{eqnarray*}$

20.06.2013, 16:12

Mulder

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RE: Irreduzibel in Q[X]
Das geht doch 100% analog zu dem hier:

$\begin{eqnarray*} \overline 1 = \{ 1+ (x^3+x^2+1) g \, | \, g \in \mathbb F_2[x] \} \end{eqnarray*}$

Analog z.B.

$\begin{eqnarray*} \overline{x^2+x} = \{ x^2+x+ (x^3+x^2+1) g \, | \, g \in \mathbb F_2[x] \} \end{eqnarray*}$

Denn egal, was g ist, $\begin{eqnarray*} (x^3+x^2+1) g \end{eqnarray*}$ lässt bei Division durch $\begin{eqnarray*} (x^3+x^2+1) \end{eqnarray*}$ den Rest 0, wie du dir leicht überlegen kannst.

Siehe Definition des Faktorrings

20.06.2013, 16:25

Theend9219

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RE: Irreduzibel in Q[X]
Danke für deien Antwort Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \overline {0}=\left\{ 0+(x^{3}+x^{2}+1)g| g \in F_{2}[X]\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline {1}=\left\{ 1+(x^{3}+x^{2}+1)g| g \in F_{2}[X]\right\}$ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline {X^{2}+X+1}=\left\{ X^{2}+X+1+(x^{3}+x^{2}+1)g| g \in F_{2}[X]\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline {X^{2}+X}=\left\{ X^{2}+X +(x^{3}+x^{2}+1)g| g \in F_{2}[X]\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline {X^{2}+1}=\left\{ X^{2}+1+(x^{3}+x^{2}+1)g| g \in F_{2}[X]\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline {X^{2}}=\left\{ X^{2}+(x^{3}+x^{2}+1)g| g \in F_{2}[X]\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline {X^{1}+1}=\left\{ X^{1}+1 +(x^{3}+x^{2}+1)g| g \in F_{2}[X]\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline {X^{1}}=\left\{ X^{1} +(x^{3}+x^{2}+1)g| g \in F_{2}[X]\right\} \end{eqnarray*}$

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