Irreduzibel in Q[X] |
20.06.2013, 12:14 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Irreduzibel in Q[X] Ich habe folgende Frage: Wie zeige ich : ist irreduzibel in ? Also meine einzige Idee ist: Das Polynom hat ja offenbar Nullstellen, somit auch lineare Faktoren. Und vom es ist vom Grad 4. .,. Und nun ? LG Shelly |
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20.06.2013, 12:17 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X]
Leider ist auch diese - nach eigenen Worten einzige - Idee total falsch... Jede rationale Nullstelle müsste hier sogar ganz und Teiler von 1 sein... Diese Fälle führen aber zu keiner Nullstelle, wie man leicht überprüfen kann... |
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20.06.2013, 12:20 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X] Klick |
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20.06.2013, 12:21 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X] Ja, hat es tatsächlich Nullstellen in ? ...Wenn es diese hätte, dann wäre es nicht mehr irreduzibel..... Ein Satz aus der Algebra besagt: "Hat ein normiertes Polynom mit Koeffizienten aus Nullstellen über , so sind diese bereits aus undTeiler des Absolutgliedes." Die Teiler sind schnell überprüft, also keine Nullstellen über . Zu prüfen ist dann noch, ob es vielleicht in zwei Polynome vom Grad 2 zerfällt...... Edit: zu spät.... |
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20.06.2013, 12:33 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X] Hey ! ;D Danke für eure schnelle Hilfe .. Ich hab es mal genauso gemacht wie bei dem "KLICK-Thread" Es gilt zu prüfen, ob irreduzibel in ist. Dabei genügt es der Ansatz: Koeffizient bei Koeffizient bei In den jeweiligen Fällen (+ oder -) folgt sofort, dass 12 bzw. 8 Quadratzahlen sind. Widerspruch! Eine Frage bleibt mir noch .. Warum untersucht man bei dem Koeffizientenvergleich nicht auch den Fall ? LG |
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20.06.2013, 12:40 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X]
Zum einen hat man ja bereits ohne diesen Fall den erhofften Widerspruch, zum anderen führt das auch nur auf a+b=0, was man eh schon weiß... |
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20.06.2013, 13:03 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X] Ja das stimmt ... Danke !.. |
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20.06.2013, 13:06 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X] Ich möchte jetzt keinen neuen Thread aufmachen, da die kommende Frage ähnlich ist. Zeigen Sie dass irreduzibel in Was ist denn .. Und muss ich hier jetzt auch einen Koeffizientenvergleich machen? |
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20.06.2013, 13:15 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X]
Das hier ist total anders denn ein redzibles Polynom vom Grad 3 müsste auch einen Linearfaktor und damit Nullstellen über dem zugrundeliegenden Körper, hier also haben... |
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20.06.2013, 13:28 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X] Dankeschön ... Dann probiere ich doch mal die Nullstellen. Ein Produkt wird dann 0, wenn einer ihrer Faktoren wird. Also ist schon mal 0. Und dann bin ich in einer endlosschleife hihi ... hoffe jemand kann mir helfen .. |
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20.06.2013, 13:36 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X]
Dieser Schritt ist ehrlich gesagt ein ziemliches Fiasko. Setz mal in den Ursprungsterm (also bevor du ausgeklammert hast) 0 ein. Kommt da wirklich 0 raus? Und in den Term 0 einsetzen ist ja wohl etwas problematisch... schließlich teilst du jetzt in der Klammer durch 0. Außerdem bist du in einem Polynomring! Da solltest du auch bleiben! Sprich diese ganze Zerlegung ist gar nicht zulässig. Irgendwelche Potenzen von x auszuklammern bringt ganz allgemein rein gar nichts, wenn die Funktion auch ein Absolutglied (also einen konstanten Summanden, in dem kein x vorkommt) hat. Du bist doch in , dieser Körper besteht nur aus zwei Elementen. Diese beiden Elemente einsetzen und gucken, ob 0 rauskommt. Diese ganze Aufgabe ist in 5 Sekunden zu bewältigen. |
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20.06.2013, 13:44 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X] Hey Mulder! Das Problem ist ich nicht weiß was ich mir unter \mathbb F vorzustellen habe ! Das hatte ich auch am Anfang gesagt und das hab ich jetzt noch nirgends finden können hihi Also wenn ich einsetze dann hab ich Also die 2 bei steht für die Primzahlpotenz .. Und enthält die Elemente 0 und 1 .. Dann setz ich doch mal 1 ein .. LG |
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20.06.2013, 13:46 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X] Das ist halt der Körper, der nur die 0 und die 1 enthält. Einen noch einfacheren Körper kann man doch gar nicht finden. Und in diesem gilt . |
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20.06.2013, 13:49 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X] Und hhi also wenn ich 1 einsetze und so? |
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20.06.2013, 13:50 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X] Ja. Was sagt uns das nun? |
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20.06.2013, 13:58 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X] Das sagt uns das das irreduzibel über den endlichen Körper ist ja? |
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20.06.2013, 13:59 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X] Ja. |
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20.06.2013, 14:15 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X] Dankeschön Und nun noch eine letzte hihi ist ein Körper mit acht Elementen. Geben Sie die Elemente dieses Körpers an. offenbar also aus Elementen ... Wie kann ich die Elemente bestimmen? LG |
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20.06.2013, 14:17 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X] Indem du die Restklassen bestimmst. Überleg dir mal für alle Restklassen einen einfachen Repräsentanten. Welcher Rest kann denn bei Division durch das Polynom X^3+X^2+1 verbleiben? |
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20.06.2013, 14:27 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X] Ich bezeichne jetzt als also da bin ich mir unsicher |
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20.06.2013, 14:31 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X]
Darauf solltest du dich mal konzentrieren. Vor allem: Welchen Grad kann der Rest haben? Da schau noch mal in deine Unterlagen, wie die Division mit Rest im Polynomring erklärt ist. |
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20.06.2013, 14:38 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X] Bei der Division mit Rest für Polynome muss das als Divisor auftretende Polynom aus dem Polynomring eine Vorraussetzung erfüllen: Der Leitkoeffizient von muss eine Einheit von sein (insbesondere ist nicht das Nullpolynom). Unter dieser Bedingung gibt es zu jedem eindeutig bestimmte Polynome mit und Muss ich nun auch Polynomdivision machen? ;D LG |
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20.06.2013, 14:42 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X]
Das ist der Punkt. Wieviele Polynom vom Grad kleiner 3 gibt es denn in ? Schreib alle hin und du bist fertig. |
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20.06.2013, 14:50 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X] Polynome vom Grad kleiner als 3 in ... mh ich weiß nicht ...das Polynom das ich habe mein "" ist ja grad 3... |
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20.06.2013, 15:04 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X] Du solltest es eigentlich schaffen können, dir die konstanten Polynome, diejenigen vom Grad 1 und diejenigen vom Grad 2 hinzuschreiben, die es in F2 so gibt. Die konstanten sind gerade f=0 und g=1. Mehr gibt's nicht. Grad 1 und 2 sind deine Aufgabe. |
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20.06.2013, 15:14 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X] wäre ein Polynom vom Grad kleiner als in dann ja eigendlich auch Für die quadratischen Polynome .. für die konstanten Polynome und für die von Grad 1 so? |
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20.06.2013, 15:18 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X]
Ja. Mehr gibt's nicht.
Nein. X^0 wäre doch 1. Einfach nur 0 und 1, wie ich dir schon hingeschrieben habe.
X^1 ist dasselbe wie X. Und X+X ist 0. Das erste Polynom also rausschmeißen. Denn das wäre wieder das konstante Polynom g=1 und das hast du oben schon. Und dann hast du deine 8 Polynome beisammen. |
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20.06.2013, 15:26 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X] Vielen lieben Dank Du hast mir sehr geholfen. |
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20.06.2013, 15:28 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X] Denk dran, dass du das Ganze auf Ebene der Restklassen notieren musst. Wir sind ja in einem Restklassenring (der in diesem Fall eben ein Körper wird, weil 8 eine Primzahlpotenz ist). Wir haben ja jetzt nur jeweils einen Repräsentanten gefunden. |
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20.06.2013, 15:38 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X] Tut mir leid das verstehe ich jetzt leider nicht .. auch wenn es vielleicht von Dir schon einfach beschrieben ist ..Was gilt es jetzt noch zu notieren? LG Tut mir leid =( Ich hatte auch gegoogelt aber irgendwie nichts verständliches gefunden .. |
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20.06.2013, 15:43 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X] Du hast jetzt herausgefunden, dass es acht verschiedene "Reste" bei Division durch x^3+x^2+1 geben kann. Zu diesen Resten gehört jeweils immer eine ganze Restklasse. Schließlich ist z.B. g=1 nicht das einzige Polynom, das bei Division durch x^3+x^2+1 den Rest 1 lässt. Auch z.B. x^3+x^2 lässt bei Division durch x^3+x^2+1 den Rest 1 in F2[x], dieses Polynom liegt also in der selben Restklasse und unendlich viele weitere ebenfalls. Genauer so sieht z.B. diese eine Restklasse aus. |
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20.06.2013, 15:51 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X] Achsooo.. Und jetzt gilt es noch die für f=0 anzugeben? |
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20.06.2013, 16:01 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X] Naja, das muss man für alle 8 Polynome machen. Es muss halt von der Notation her eben geklärt werden, dann reicht eigentlich sowas wie , , usw... Oder wie auch immer ihr Restklassen halt üblicherweise notiert. Aber das muss man eben schon irgendwie als Restklasse kenntlich machen. Damit für den Leser ersichtlich wird, dass du weißt, was du tust. |
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20.06.2013, 16:09 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X] Danke für deine Antwort. Ich verstehe was du meinst. Jedoch tue ich mich schwer die Restklasse aufzustellen. Warscheinlich muss ich da so vorgehen: |
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20.06.2013, 16:12 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X] Das geht doch 100% analog zu dem hier: Analog z.B. Denn egal, was g ist, lässt bei Division durch den Rest 0, wie du dir leicht überlegen kannst. Siehe Definition des Faktorrings |
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20.06.2013, 16:25 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Irreduzibel in Q[X] Danke für deien Antwort |
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