Integral berechnen (Gauß)

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20.06.2013, 14:12	Dieter Elais	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral berechnen (Gauß) Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} E:=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : \frac{x^2}{4}+y^2+\frac{z^2}{9}\leq 1\right\} \end{eqnarray}$ mit äußerem Einheits-Normalenfeld $\begin{eqnarray} \nu\colon\partial E\to\mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} F\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ das Vektorfeld $\begin{eqnarray} F(x,y,z):=(3x^2z,y^2-2x,z^3) \end{eqnarray}$ . Berechnen Sie das Integral $\begin{eqnarray} \int\limits_{\partial E}\langle F,v\rangle\ dS \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Mit dem Satz von Gauß muss ich berechnen: $\begin{eqnarray} \int\limits_{E}\mbox{div }F(x)\, d^3x \end{eqnarray}$ . Es ist $\begin{eqnarray} \mbox{div }F=6xz+2y+3z^2 \end{eqnarray}$ , demnach muss ich das Integral $\begin{eqnarray} \int\limits_E 6xz+2y+3z^2\, d^3E \end{eqnarray}$ berechnen. Wie kann ich dieses Integral berechnen? Irgendeine Parametrisierung?
20.06.2013, 14:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Angemessen erscheinen an den Zielellipsoid $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ "angepasste" (skalierte) Kugelkoordinaten, d.h. $\begin{eqnarray} x &=& 2r\sin\theta\cos\varphi \\ y &=& r\sin\theta\sin\varphi \\ z &=& 3r\cos\theta \end{eqnarray}$ .
20.06.2013, 14:32	Dieter Elais	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Tag und recht herzlichen Dank für Ihre Antwort! Darf ich Sie danach fragen, wie sie auf die Skalierung kommen? Also auf die Faktoren 2 und 3 bei der x- und der z-Koordinate?
20.06.2013, 14:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{x^2}{4}+y^2+\frac{z^2}{9} = \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{1^2}+\frac{z^2}{3^2} = 1 \end{eqnarray}$ ist die Gleichung eines Ellipsoiden mit den drei Halbachsen 2,1,3. Und der entsteht aus einer Einheitskugel, die in x-Richtung um Faktor 2 und in z-Richtung um Faktor 3 gestreckt wurde.
20.06.2013, 15:42	Dieter Elais	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Ich habe dann die Transformationsformel benutzt und bin zu dem Resultat gekommen, dass ich $\begin{eqnarray} \int\limits_U (36 r\sin\theta\cos\varphi\cos\theta+2r\sin\theta\sin\varphi+27\cos^2\theta)\lv<br /> ert 6r\sin^3\theta\rvert\, dU \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} U=[0,1]\times (-\pi,\pi)\times (-\pi/2,\pi/2) \end{eqnarray}$ berechnen muss? Bis herihin korrekt?
20.06.2013, 16:20	Dieter Elais	Auf diesen Beitrag antworten »
Eben habe ich mich wohl vertippt. Also nochmal neu: Wenn ich $\begin{eqnarray} \Phi(r,\theta,\varphi)=\begin{pmatrix}2r\sin\theta\cos\varphi\\r\sin\theta\sin\varphi\\3r\cos\theta\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ betrachte und die Funktionalmatrix bilde, so erhalte ich $\begin{eqnarray} D\Phi(r,\theta,\varphi)=\begin{pmatrix}2\sin\theta\cos\varphi & 2\cos\theta r \cos\varphi & -2\sin\varphi r \sin\theta\\\sin\theta\sin\varphi & \cos\theta r \sin\varphi & \cos\varphi r \sin\theta\\3\cos\theta & -3\sin\theta r & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Determinante dieser Matrix lautet $\begin{eqnarray} 6r^2\sin\theta \end{eqnarray}$ . Mit der Transformationsformel habe ich also das Integral $\begin{eqnarray} \int\limits_U g(r,\theta,\varphi)\cdot 6r^2\sin\theta\, dU \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g(r,\theta,\varphi):=36r^2\sin\theta\cos\varphi\cos\theta+2r\sin\theta<br /> \cdot\sin\varphi+27r^2\cos^2\theta \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U=[0,1]\times (-\pi,\pi)\times (-\pi/2,\pi/2) \end{eqnarray}$ zu bestimmen.
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20.06.2013, 17:00	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht soweit gut aus. Die $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ - und auch die $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ -Integration sollte kein größeres Problem sein, nur bei der $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ -Integration muss man noch ein bisschen Grips investieren.
20.06.2013, 17:02	Dieter Elais	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe als Endergebnis $\begin{eqnarray} \frac{216}{5}\pi \end{eqnarray}$ heraus. Stimmt das - oder habe ich nicht genug Grips benutzt?
20.06.2013, 17:23	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das dürfte stimmen. Ich hab dann doch noch einen kleinen Fehler oben entdeckt: Es muss $\begin{eqnarray} \int\limits_U g(r,\theta,\varphi)\cdot 6r^2\|\sin\theta\| ~ \dd U \end{eqnarray}$ lauten, was du aber offenbar in der Rechnung berücksichtigt hast.
20.06.2013, 17:27	Dieter Elais	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe mit der Parametrisierung.

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