Ungleichung2

20.06.2013, 16:57

_noName

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Ungleichung2

Hi,

hab hier noch ne Ungleichung wo ich Probleme habe.

$\begin{eqnarray*} |\frac{x+1}{x+2} |<4 \end{eqnarray*}$

Fall0: $\begin{eqnarray*} x\neq -2 \end{eqnarray*}$

Fall1:
$\begin{eqnarray*} x+1\geq0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x+1}{x+2}<4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x>-\frac{7}{3} \end{eqnarray*}$

Fall2:
$\begin{eqnarray*} x+1\leq0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-x-1}{x+2}<4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x>-\frac{9}{5} \end{eqnarray*}$

Lösungsmenge = ???

20.06.2013, 17:00

_noName

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Habe mich verschrieben die Aufgabe lautet so:

$\begin{eqnarray*} \frac{|x+1|}{x+2} <4 \end{eqnarray*}$

20.06.2013, 18:38

_noName

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Weiß niemand wie man das löst ?

$\begin{eqnarray*} \frac{|x+1|}{x+2} <4 \end{eqnarray*}$

22.06.2013, 11:06

Bürgi

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Hallo,

die Antwort auf diese Frage

Zitat:

Weiß niemand wie man das löst ?

willst Du nicht wirklich wissen, oder? Big Laugh

Big Laugh

1. Laut Definition des Betrages ergeben sich zwei unterschiedliche Bruchungleichungen:
$\begin{eqnarray*} \displaystyle{\begin{array}{lcr}x \geq -1&:& \frac{x+1}{x+2}<4\\ \\ x < -1&:& \frac{-(x+1)}{x+2}<4 \end{array}} \end{eqnarray*}$

2. Löse jede Ungleichung unter Beachtung des Definitionsbereichs.

25.06.2013, 00:03

_noName

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Hi,

sorry das ich erst jetzt antworte.

Habs versucht...

Zitat:

1. Laut Definition des Betrages ergeben sich zwei unterschiedliche Bruchungleichungen:
$\begin{eqnarray*} \displaystyle{\begin{array}{lcr}x \geq -1&:& \frac{x+1}{x+2}<4\\ \\ x < -1&:& \frac{-(x+1)}{x+2}<4 \end{array}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x+1}{x+2}<4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+1<4*(x+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+1<4x+8) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -7<3x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{7}{3}<x \end{eqnarray*}$

-----------------------------------------

$\begin{eqnarray*} \frac{-(x+1)}{x+2}<4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-x-1}{x+2}<4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x-1<4*(x+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x-1<4x+8) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -9<5x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - \frac{9}{5}<x \end{eqnarray*}$

Zitat:

2. Löse jede Ungleichung unter Beachtung des Definitionsbereichs.

$\begin{eqnarray*} L1=(-1,\infty ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L2=(-\frac{9}{5};-1) \end{eqnarray*}$

25.06.2013, 18:13

chris_78

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Hallo,
Du musst Dir erstmal die Besonderheiten beim Lösen von Ungelichungen klar machen. Wenn man Ungleichungen mit einem negativen Ausdruck multipliziert oder dividiert dann dreht sich das Größer-/Kleinerzeichen um.
Da Du mit dem Nenner (x+2) multiplizierst, musst dann jeweils eine Fallunterscheidung vornehmen. Einmal für den Fall, dass (x+2) postiv ist, also x>-2 ist (das "<" dreht sich nicht um). Und einmal für den Fall, dass (x+2) negativ ist (das "<" wird zum ">"), was ja genau dann der Fall wenn x<-2 ist.

Du hast also wegen des Betrags 2 Ungleichungen, die jeweils schon nur für einen bestimmten Wertebereich von x gelten.
Und bei diesen nimmst Du dann jeweils noch die Fallunterscheidungen vor, wenn Du mit dem Nenner multiplizierst. Du hast dann also 4 Ungleichungen.
Einen Fall kannst Du Dir allerdings sparen, nämlich den für x<-2 bei der ersten Ungleichung, denn die gilt ja nur für $\begin{eqnarray*} x \geq-1 \end{eqnarray*}$

Am Ende musst die die drei Lösungen unter Beachtung der Bereiche, in denen die Lösungen jeweils nur gelten zu einer Lösungsmenge zusammenfassen.

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25.06.2013, 20:00

_noName

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So ?

$\begin{eqnarray*} \frac{|x+1|}{x+2} <4 \end{eqnarray*}$

------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x+2>0 \wedge \frac{|x+1|}{x+2}<4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vee x+2<0 \wedge \frac{|x+1|}{x+2}<4 \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x+2>0 \wedge |x+1|<4*(x+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vee x+2<0 \wedge |x+1|>4*(x+2) \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow |x+1|>0 \wedge |x+1|<4*(x+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vee |x+1|<0 \wedge |x+1|<4*(x+2) \end{eqnarray*}$

----------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x+1>0 \wedge x+1<4*(x+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vee x+1<0 \wedge -(x+1)<4*(x+2) \end{eqnarray*}$

----------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x+1>0 \wedge x+1<4x+8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vee x+1<0 \wedge -x-1<4*x+8 \end{eqnarray*}$

-----------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x>-1 \wedge x>-\frac{7}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vee x<-1 \wedge x>-\frac{9}{5} \end{eqnarray*}$

------------------------------------------------------
------------------------------------------------------
------------------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} |x+1|>0 \wedge |x+1|>4*(x+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vee |x+1|<0 \wedge |x+1|>4*(x+2) \end{eqnarray*}$

----------------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x+1>0 \wedge x+1>4*(x+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vee x+1<0 \wedge -(x+1)>4*(x+2) \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x+1>0 \wedge x+1>4*(x+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vee x+1<0 \wedge -(x+1)>4*(x+2) \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x+1>0 \wedge x+1>4x+8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vee x+1<0 \wedge -x-1>4x+8 \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x>-1 \wedge -7>3x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vee x<-1 \wedge -9>5x \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x>-1 \wedge -\frac{7}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vee x<-1 \wedge -\frac{9}{5} \end{eqnarray*}$

-------------------------------------------------
Weiter komm ich nicht die x muss man hier irgendwie einsetzen oder ?

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x+2>0 \wedge |x+1|<4*(x+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vee x+2<0 \wedge |x+1|>4*(x+2) \end{eqnarray*}$

25.06.2013, 20:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von _noName
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow |x+1|>0 \wedge |x+1|<4*(x+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vee |x+1|<0 \wedge |x+1|<4*(x+2) \end{eqnarray*}$

Das ist Unsinn links: Es ist niemals |x+1|<0, da der Betrag immer nichtnegativ ist. Was du hier meinst, ist stattdessen

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x+1>0 \wedge |x+1|<4*(x+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vee x+1<0 \wedge |x+1|<4*(x+2) \end{eqnarray*}$

,
im folgenden rechnest du ja auch auf dieser Grundlage weiter.

Insgesamt muss ich sagen, dass dein Beitrag sehr unleserlich ist, da du nicht klar und deutlich kennzeichnest, wie die Verzweigungen struktuiert sind, also etwa in der Art

Fall 1: x+2 >= 0 ...
Fall 2: x+2 <0 ...

Und dann evtl. Unterfälle:

Fall 1.1: x+1 >=0 ...

So wie oben ist es eine wüste Ansammlung diverser Terme, die man dann mühsam zusammenpuzzeln muss.

25.06.2013, 22:21

_noName

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Hoffe so ist es leserlicher.

$\begin{eqnarray*} \frac{|x+1|}{x+2} <4 \end{eqnarray*}$

------------------------------------------

Fall1: x+2>0

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x+2>0 \wedge \frac{|x+1|}{x+2}<4 \end{eqnarray*}$

Fall2: x+2<0
$\begin{eqnarray*} \vee x+2<0 \wedge \frac{|x+1|}{x+2}<4 \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------

Fall1:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x+2>0 \wedge |x+1|<4*(x+2) \end{eqnarray*}$

Fall2:
$\begin{eqnarray*} \vee x+2<0 \wedge |x+1|>4*(x+2) \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------
Fall1.1: |x+1|>0
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow |x+1|>0 \wedge |x+1|<4*(x+2) \end{eqnarray*}$

Fall1.2:|x+1|<0
$\begin{eqnarray*} \vee |x+1|<0 \wedge |x+1|<4*(x+2) \end{eqnarray*}$

----------------------------------------------
Fall1.1:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x+1>0 \wedge x+1<4*(x+2) \end{eqnarray*}$

Fall1.2:
$\begin{eqnarray*} \vee x+1<0 \wedge -(x+1)<4*(x+2) \end{eqnarray*}$

----------------------------------------------------
Fall1.1:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x+1>0 \wedge x+1<4x+8 \end{eqnarray*}$

Fall1.2:
$\begin{eqnarray*} \vee x+1<0 \wedge -x-1<4*x+8 \end{eqnarray*}$

-----------------------------------------------------------
Fall1.1:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x>-1 \wedge x>-\frac{7}{3} \end{eqnarray*}$

Fall1.2:
$\begin{eqnarray*} \vee x<-1 \wedge x>-\frac{9}{5} \end{eqnarray*}$

------------------------------------------------------
------------------------------------------------------
------------------------------------------------------
Fall2.1:
$\begin{eqnarray*} |x+1|>0 \wedge |x+1|>4*(x+2) \end{eqnarray*}$

Fall2.2:
$\begin{eqnarray*} \vee |x+1|<0 \wedge |x+1|>4*(x+2) \end{eqnarray*}$

----------------------------------------------------
Fall2.1:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x+1>0 \wedge x+1>4*(x+2) \end{eqnarray*}$

Fall2.2:
$\begin{eqnarray*} \vee x+1<0 \wedge -(x+1)>4*(x+2) \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------------------
Fall2.1:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x+1>0 \wedge x+1>4*(x+2) \end{eqnarray*}$

Fall2.2:
$\begin{eqnarray*} \vee x+1<0 \wedge -(x+1)>4*(x+2) \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------------------
Fall2.1:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x+1>0 \wedge x+1>4x+8 \end{eqnarray*}$

Fall2.2:
$\begin{eqnarray*} \vee x+1<0 \wedge -x-1>4x+8 \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------------------
Fall2.1:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x>-1 \wedge -7>3x \end{eqnarray*}$

Fall2.2:
$\begin{eqnarray*} \vee x<-1 \wedge -9>5x \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------------------
Fall2.1:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x>-1 \wedge x>-\frac{7}{3} \end{eqnarray*}$

Fall2.2:
$\begin{eqnarray*} \vee x<-1 \wedge x>-\frac{9}{5} \end{eqnarray*}$

-------------------------------------------------
Weiter komm ich nicht die x muss man hier irgendwie einsetzen oder ?

Fall1: x-Werte einsetzen ?

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x+2>0 \wedge |x+1|<4*(x+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vee x+2<0 \wedge |x+1|>4*(x+2) \end{eqnarray*}$

26.06.2013, 08:20

HAL 9000

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Warum hast du den Fehler mit dem |x+1|<0 etc. nochmal wiederholt??? M.E. ist es von der Abfolge übersichtlicher, wenn man die Fälle einmal begonnen "durchzieht", d.h. deine Methode, immer nur einen Umformungsschritt pro Fall durchzuziehen, dann zum nächsten Fall überzugehen, ... nach einer Runde wieder den ersten Fall vorzunehmen usw. ist schon ziemlich ungewöhnlich: Auf diese Weise scheinst du z.B. vergessen zu haben, dass im gesamten Fall 2 die Bedingung x+2<0 gilt, was die Sache doch dort erheblich abkürzt. unglücklich

unglücklich

Ich stelle mal dar, wie ich mir das eher vorstelle:

$\begin{eqnarray*} \frac{|x+1|}{x+2} < 4 \end{eqnarray*}$

Fall 1: $\begin{eqnarray*} x+2>0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} x>-2 \end{eqnarray*}$ .

Die Ungleichung ist hier äquivalent zu $\begin{eqnarray*} |x+1| < 4(x+2) = 4x+8 \end{eqnarray*}$

Fall 1.1: $\begin{eqnarray*} x+1\geq 0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} x\geq -1 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} x+1 < 4x+8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -7 < 3x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x > -\frac{7}{3} \end{eqnarray*}$

Zusammen mit den Fallbedingungen ergibt das $\begin{eqnarray*} x\geq -1 \end{eqnarray*}$ als Lösungsmenge dieses Teilfalls.

Fall 1.2: $\begin{eqnarray*} x+1< 0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} x< -1 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} -(x+1) < 4x+8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -9 < 5x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x > -\frac{9}{5} \end{eqnarray*}$

Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} -\frac{9}{5} < x < -1 \end{eqnarray*}$ .

Fall 2: $\begin{eqnarray*} x+2<0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} x<-2 \end{eqnarray*}$ .

Hier ist automatisch auch $\begin{eqnarray*} x+1<0 \end{eqnarray*}$ , so dass die Ungleichung hier äquivalent zu $\begin{eqnarray*} -(x+1) > 4x+8 \end{eqnarray*}$ ist.

$\begin{eqnarray*} -9 > 5x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x < -\frac{9}{5} \end{eqnarray*}$

Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} x < -2 \end{eqnarray*}$ .

---------------------------

Es verbleibt noch das Zusammenfassen dieser einzelnen Fall-Lösungsmengen zu einer Gesamtlösungsmenge deiner Ungleichung.

27.06.2013, 19:32

_noName

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Zitat:

Original von HAL 9000

Fall 2: $\begin{eqnarray*} x+2<0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} x<-2 \end{eqnarray*}$ .

Hier ist automatisch auch $\begin{eqnarray*} x+1<0 \end{eqnarray*}$ , so dass die Ungleichung hier äquivalent zu $\begin{eqnarray*} -(x+1) > 4x+8 \end{eqnarray*}$ ist.

$\begin{eqnarray*} -9 > 5x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x < -\frac{9}{5} \end{eqnarray*}$

Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} x < -2 \end{eqnarray*}$ .

---------------------------

Es verbleibt noch das Zusammenfassen dieser einzelnen Fall-Lösungsmengen zu einer Gesamtlösungsmenge deiner Ungleichung.

Ab hier versteh ich es nicht so ganz.

Ok warum $\begin{eqnarray*} x<-\frac{7}{3} \end{eqnarray*}$ nicht aufgelistet ist habe ich mir durch die leere Lösungsmenge erklärt.

Aber warum dann die Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} x<-2 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} L22=(\infty;-\frac{9}{5}) \end{eqnarray*}$ ist versteh ich nicht unglücklich

unglücklich

27.06.2013, 19:55

HAL 9000

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Dein Zahlenstrahl ist schon ziemlich seltsam:

Die $\begin{eqnarray*} -\frac{9}{5} = -1.8 \end{eqnarray*}$ sollte zwischen $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ liegen - bei dir liegt dieser Wert aber links von $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ !!! geschockt

geschockt

geschockt

geschockt

Das dürfte dann hoffentlich deine Frage klären.

27.06.2013, 20:35

_noName

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ups. Jetzt ist $\begin{eqnarray*} x<-2 \end{eqnarray*}$ klar.

Habs zusammengefasst aber in meiner Zusammenfassung muss ein Fehler sein verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} L11=[-1;\infty) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L12=(-\frac{9}{5};-1) \end{eqnarray*}$

L21=leer

$\begin{eqnarray*} L22=(\infty;-\frac{9}{5} ) \end{eqnarray*}$

L11 und L12 kombiniert $\begin{eqnarray*} L_{Fall1}=[-1;\infty) \end{eqnarray*}$

L21 und L22 kombiniert $\begin{eqnarray*} L_{Fall2}=[-\infty;-2) \end{eqnarray*}$

27.06.2013, 20:39

_noName

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Ergänzung:

kombiniert mit x>-2
kombiniert mit x<-2

$\begin{eqnarray*} L11=[-1;\infty) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L12=(-\frac{9}{5};-1) \end{eqnarray*}$

L21=leer

$\begin{eqnarray*} L22=(\infty;-\frac{9}{5} ) \end{eqnarray*}$

L11 und L12 kombiniert mit x>-2 $\begin{eqnarray*} L_{Fall1}=[-1;\infty) \end{eqnarray*}$

L21 und L22 kombiniert mit x<-2 $\begin{eqnarray*} L_{Fall2}=[-\infty;-2) \end{eqnarray*}$ [/quote]

27.06.2013, 21:18

HAL 9000

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Eigentlich sollte nach der Korrektur des Zahlenstrahls doch nun endlich klar sein, dass

$\begin{eqnarray*} L_{22} = (-\infty,-2) \end{eqnarray*}$

ist (entspricht meiner obigen Lösung für Fall 2). Warum du immer und immer wieder alte Fehler wiederholst, ist mir unbegreiflich - eine schlimme und äußerst ärgerliche Renitenz ist das. unglücklich

unglücklich

Auch wie du die Mengen zusammenfasst, ist zum Haareausraufen falsch. Kombiniert ergibt sich die Gesamtlösungsmenge

$\begin{eqnarray*} L = L_{11} \cup L_{12} \cup L_{21} \cup L_{22} = (-\infty,-2) \cup \left( -\frac{9}{5},\infty \right) \end{eqnarray*}$ .

27.06.2013, 22:04

_noName

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Wie fasst man den die Mengen richtig zusammen ?
Wäre nett wenn du mir das kurz erklären könntest.

Hab nochmal ein Bild hinzugefügt nur für Fall1.1.
Weil ich glaube das der erste Zahlenstrahl falsch war (hatte da nicht die x>-2 drin)

27.06.2013, 22:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von _noName
Weil ich glaube das der erste Zahlenstrahl falsch war (hatte da nicht die x>-2 drin)

Was aber am Ergebnis nix ändert: Die Lösung im ersten Teilfall ergibt sich als Durchschnitt der folgenden Mengen: der/die Definitionsmenge(n) des Falls sowie der durch die Umformung der Ungleichung erzielten Menge.

$\begin{eqnarray*} L_{11} = \underbrace{(-2,\infty)}_{\mbox{Fall 1}} \cap \underbrace{[-1,\infty)}_{\mbox{Fall 1.1}} ~ \cap ~ \underbrace{\left( -\frac{7}{3},\infty\right)}_{\mbox{Ungleichungsumformung}} = [-1,\infty) \end{eqnarray*}$

27.06.2013, 22:47

_noName

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Also einfach nur schaun was alle gemeinsam haben.

Bin jetzt auch zum richtigen Ergebnis gekommen smile

smile

Danke für deine Geduld.

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