Optimierung mit quadratischen Funktionen

20.06.2013, 17:38

Lalibu98

Optimierung mit quadratischen Funktionen

Meine Frage:
Hallo, also wir nehmen in der Schule gerade quadratischen Gleichungen durch und nun weiß ich nicht, wie ich anfangen soll, vielleicht bin ich auch einfach zu blöd dazu (bin nicht so gut in Mathe!) und die Aufgabe wäre vielleicht ganz leicht.

Aufgabe:

Ein Verlag gibt eine Fachzeitschrift heraus, die zu einem Jährlichen Abonnentenpreis von 60 Euro an 5000 Bezieher geliefert wird. Dem Verlag entstehen jährlich auflagenunabhängige Kosten in Höhe von 20 000 Euro und (auflagenabängige) Kosten in Höhe von 10 Euro pro Abonnement.
Durch eine Meinungsumfrage wird festgestellt, dass pro Senkung des Abonnementpreises un 1 Euro die Anzahl der Abonnenten um 200 ansteigen würde. Bestimme den Preis, der für den Verlag am günstigsten ist.

Ich weiß einfach nicht wie und wo ich anfangen soll, muss ich das jetzt in eine quadratische Gleichung verpacken???

Danke für die Hilfe!!!!

Meine Ideen:
Ich dachte mir, wenn es 5000 Bezieher gibt die jährlich ein Abonnement für 60 Euro beziehen, dass der Verlag ja dann jährlich 300000 Euro einnimmt.
Dazu kommen die -20000 auflagenunabhängige und -10 Euro (das wären bei 5000 Abonenten 50000 Euro) auflagenabhängige Kosten.

Ist das so eventuell richtige? Wie gehts jetzt weiter?

20.06.2013, 18:36

Kasen75

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Hallo,

deine Rechung ist prinzipiell richtig, führt aber ein bisschen an der Aufgabenstellung vorbei.

Als erstes muss man die Preisabsatzfunktion aufstellen.

Du weißt, dass bei $\begin{eqnarray*} p=60 \end{eqnarray*}$ eine Nachfrage von $\begin{eqnarray*} x=50.000 \end{eqnarray*}$ vorhanden ist.

Dann steht da:

Zitat:

Durch eine Meinungsumfrage wird festgestellt, dass pro Senkung des Abonnementpreises un 1 Euro die Anzahl der Abonnenten um 200 ansteigen würde.

Das heißt ja, dass bei einem Preis von 59 (60-1) eine Nachfrage von 50.200 (50.000+200) Zeitschriftenabonnenten besteht.

Allgemein ist die (lineare) Preisabsatzfunktion: $\begin{eqnarray*} p(x)=mx+b \end{eqnarray*}$

Du hast jetzt jeweils zwei Wertepaare:

$\begin{eqnarray*} (p_1,x_1)=(60,50.000) \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} (p_2,x_2)=(59,50.200) \end{eqnarray*}$

Mit diesen beiden Werten kannst du dann die Parameter, m und b, bestimmen.

Der Gewinn ist dann $\begin{eqnarray*} G(x)=p(x)\cdot x-k(x)-K_f \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k(x) \end{eqnarray*}$ sind die variablen Kosten und $\begin{eqnarray*} K_f \end{eqnarray*}$ sind die Fixkosten.

Dieser Gewinn muss dann noch maximiert werden. Dazu bildet man die Ableitung von G(x) und setzt diese Ableitung gleich 0: $\begin{eqnarray*} G'(x)=0 \end{eqnarray*}$

Dann nach x auflösen. Damit hat man dann die gewinnmaxmale Menge ( $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ ). Setzt man den Wert für die gewinnmaximale Menge in die Preisabsatzfunktion ein, hat man den gewinnmaximalen Preis ( $\begin{eqnarray*} p^* \end{eqnarray*}$ ).

Schau mal, wie weit du kommst.

Grüße.

23.06.2013, 20:18

Lalibu98

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Vielen DanK für die schnelle Antwort. Nun wird einem da so manches klarer. Danke smile

23.06.2013, 20:21

Kasen75

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Gerne. Freut mich, dass einem (dir) einiges klarer geworden ist. smile

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